2012年江西省赣州三中、于都中学高三联合考试数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知i是虚数单位，使（1+i）ⁿ为实数的最小正整数n为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8

2. 难度：中等

已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么||=（ ）
A．
B．
C．
D．4

3. 难度：中等

某校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N（90，a²），（a＞0试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为（ ）
A．200
B．300
C．400
D．600

4. 难度：中等

，则实数a取值范围为（ ）
A．（-∞，-1）∪[1，+∞）
B．[-1，1]
C．（-∞，-1]∪[1，+∞）
D．（-1，1]

5. 难度：中等

已知点M，N是曲线y=sinπx与曲线y=cosπx的两个不同的交点，则|MN|的最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2

6. 难度：中等

下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）
A．①②
B．①③
C．①④
D．②④

7. 难度：中等

已知函数f（x）=x^a，g（x）=a^x，h（x）=log_ax（其中a＞0，a≠1）在同一坐标系中画出其中两个函数在第一象限内的图象，其中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

某人进行驾驶理论测试，每做完一道题，计算机会自动显示已做题的正确率f（n），则下列关系中不可能成立的是（ ）
A．f（1）＜f（2）＜f（3）＜…＜f（8）
B．f（1）=f（2）=f（3）＜f（4）＜f（5）
C．f（4）=2f（8）
D．f（6）＜f（7）=f（8）

9. 难度：中等

若直线l被圆x²+y²=4所截得的弦长为，则直线l与下列曲线一定有公共点的是（ ）
A．y²=
B．（x-2）²+y²=4
C．
D．

10. 难度：中等

已知定义域为区间[a，b]的函数f（x），其图象是一条连续不断地曲线，且满足下列条件：①f（x）的值域为G，且G⊆[a，b]；②对任意不同的x、y∈[a，b]，都有|f（x）-f（y）|＜|x-y|，那么函数g（x）=f（x）-x在区间[a，b]上（ ）
A．没有零点
B．有且只有一个零点
C．恰有两个不同的零点
D．有无数个不同的零点

二、解答题

11. 难度：中等

=    ．

12. 难度：中等

由下面的流程图输出的s为    ．

13. 难度：中等

公差为d，各项均为正整数的等差数列中，若a₁=1，a_n=51，则n+d的最小值等于    ．

14. 难度：中等

如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点P（x，y）的轨迹方程是y=f（x），则f（x）的最小正周期为    ；y=f（x）在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为    ．

15. 难度：中等

（1）不等式2|x|+|x-1|＜2的解集是   
（2）在极坐标系中，过点（2，作圆ρ=4sinθ的切线，则切线的极坐标方程为    ．

16. 难度：中等

已知函数．
（1）设x=x是函数y=f（x）图象的一条对称轴，求g（x）的值；
（2）求使函数（ω＞0）在区间上是增函数的ω的最大值．

17. 难度：中等

PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．
某试点城市环保局从该市市区2011年全年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）
（I）从这15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；
（II）从这15天的数据中任取三天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列；
（III）以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按360天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级．

18. 难度：中等

数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2．数列{b_n}满足，n∈N₊．
（1）若数列{a_n}是等差数列，求数列{b_n}的前6项和S₆；
（2）若数列{b_n}是公差为2的等差数列，求数列{a_n}的通项公式．

19. 难度：中等

如图，一棱长为2的正四面体O-ABC的顶点O在平面α内，底面ABC平行于平面α，平面OBC与平面α的交线为l．
（1）当平面OBC绕l顺时针旋转与平面α第一次重合时，求平面OBC转过角的正弦
值．
（2）在上述旋转过程中，△OBC在平面α上的投影为等腰△OB₁C₁（如图1），B₁C₁的中点为O₁．当AO⊥平面α时，问在线段OA上是否存在一点P，使O₁P⊥OBC？请说明理由．

20. 难度：中等

已知F₁、F₂分别是椭圆=1（a＞b＞0 ）的左、右焦点，其左准线与x轴相交于点N，并且满足，．设A、B是上半椭圆上满足=的两点，其中λ∈[]．
（1）求此椭圆的方程及直线AB的斜率的取值范围；
（2）设A、B两点分别作此椭圆的切线，两切线相交于一点P，求证：点P在一条定直线上，并求点P的纵坐标的取值范围．

21. 难度：中等

已知f（x）=ln（1+e^x）-mx（x∈R）．
（Ⅰ）已知对于给定区间（a，b），存在x∈（a，b）使得成立，求证：x唯一；
（Ⅱ）x₁，x₂∈R，x₁≠x₂，当m=1时，比较f（）和大小，并说明理由；
（Ⅲ）设A、B、C是函数f（x）=ln（1+e^x）-mx（x∈R，m≥1）图象上三个不同的点，求证：△ABC是钝角三角形．