2009年江苏省南京市金陵中学高考数学三模试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

的值是    ．

2. 难度：中等

抛物线y=4x²的焦点到准线的距离为    ．

3. 难度：中等

已知复数z₁=-1+2i，z₂=1-i，z₃=3-2i，其中i为虚数单位，它们所对应的点分别为A，B，C．若，则x+y 的值是    ．

4. 难度：中等

已知函数，则不等式f（x）-x≤2的解集是    ．

5. 难度：中等

若“x∈[2，5]或x∈{x|x＜1或x＞4}”是假命题，则x的取值范围是    ．

6. 难度：中等

函数y=x-2sinx在（0，2π）内的单调增区间为    ．

7. 难度：中等

在边长为2的正三角形ABC中，以A为圆心，为半径画一弧，分别交AB，AC于D，E．若在△ABC这一平面区域内任丢一粒豆子，则豆子落在扇形ADE内的概率是    ．

8. 难度：中等

等差数列{a_n}满足：a₁=-8，a₂=-6．若将a₁、a₄、a₅都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为    ．

9. 难度：中等

下列伪代码输出的结果是    ．

10. 难度：中等

过棱锥高的三等分点作两个平行于底面的截面，它们将棱锥的侧面分成三部分的面积的比（自上而下）为    ．

11. 难度：中等

已知三点（3，10），（7，20），（11，24）的横坐标x与纵坐标y具有线性关系，则其线性回归方程是    ．

12. 难度：中等

已知f（x）=x²-2x，则满足条件的点（x，y）所形成区域的面积为    ．

13. 难度：中等

对于在区间[a，b]上有意义的两个函数f（x）和g（x），如果对任意x∈[a，b]，均有|f（x）-g（x）|≤1，那么我们称f（x）和g（x）在[a，b]上是接近的．若f（x）=log₂（ax+1）与g（x）=log₂x在闭区间[1，2]上是接近的，则a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

已知数列{a_n}满足（n为正整数）且a₂=6，则数列{a_n}的通项公式为a_n=    ．

15. 难度：中等

设集合A为函数y=ln（-x²-2x+8）的定义域，集合B为函数的值域，集合C为不等式的解集．
（1）求A∩B；
（2）若C⊆C_RA，求a的取值范围．

16. 难度：中等

（理）已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，其外接圆半径为1，且有sinA-sinC+cos（A-C）=．则△ABC的面积为    ．

17. 难度：中等

如图，以长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的顶点A、C及另两个顶点为顶点构造四面体．
（1）若该四面体的四个面都是直角三角形，试写出一个这样的四面体（不要求证明）；
（2）我们将四面体中两条无公共端点的棱叫做对棱，若该四面体的任一对对棱垂直，试写出一个这样的四面体（不要求证明）；
（3）若该四面体的任一对对棱相等，试写出一个这样的四面体（不要求证明），并计算它的体积与长方体的体积的比．

18. 难度：中等

已知圆O：x²+y²=1，直线l：．
（1）设圆O与x轴的两交点是F₁，F₂，若从F₁发出的光线经l上的点M反射后过点F₂，求以F₁，F₂为焦点且经过点M的椭圆方程；
（2）点P是x轴负半轴上一点，从点P发出的光线经l反射后与圆O相切．若光线从射出经反射到相切经过的路程最短，求点P的坐标．

19. 难度：中等

已知函数，存在正数b，使得f（x）的定义域和值域相同．
（1）求非零实数a的值；
（2）若函数有零点，求b的最小值．

20. 难度：中等

已知数列a_n、b_n中，对任何正整数n都有：a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_n-1b₂+a_nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2．
（1）若数列a_n是首项和公差都是1的等差数列，求证：数列b_n是等比数列；
（2）若数列b_n是等比数列，数列a_n是否是等差数列，若是请求出通项公式，若不是请说明理由；
（3）若数列a_n是等差数列，数列b_n是等比数列，求证：．

21. 难度：中等

已知直线l的极坐标方程为，圆C的参数方程为．
（1）化直线l的方程为直角坐标方程；
（2）化圆的方程为普通方程；
（3）求直线l被圆截得的弦长．

22. 难度：中等

（1）设x是正实数，求证：（x+1）（x²+1）（x³+1）≥8x³；
（2）若x∈R，不等式（x+1）（x²+1）（x³+1）≥8x³是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值．

23. 难度：中等

某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是，每次测试时间间隔恰当，每次测试通过与否互相独立．
（1）求该学生考上大学的概率．
（2）如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为X，求X的分布列及X的数学期望．

24. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：a₁=2，且；又数列{b_n}满足：b_n=2^n-1+1．若数列{a_n}和{b_n}的前n和分别为S_n和T_n，试比较S_n与T_n的大小．