Question

如图，以长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的顶点A、C及另两个顶点为顶点构造四面体．
（1）若该四面体的四个面都是直角三角形，试写出一个这样的四面体（不要求证明）；
（2）我们将四面体中两条无公共端点的棱叫做对棱，若该四面体的任一对对棱垂直，试写出一个这样的四面体（不要求证明）；
（3）若该四面体的任一对对棱相等，试写出一个这样的四面体（不要求证明），并计算它的体积与长方体的体积的比．

Answer

（1）如四面体A1-ABC或四面体C1-ABC或四面体A1-ACD或四面体C1-ACD；该四面体的四个面都是直角三角形；
（2）如四面体B1-ABC或四面体D1-ACD；该四面体的任一对对棱垂直；
（3）如四面体A-B1CD1；设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，其中四面体A-B1CD1的体积等于长方体的体积减去4个角上的三棱锥的体积即得．
【解析】
（1）如四面体A1-ABC或四面体C1-ABC或四面体A1-ACD或四面体C1-ACD；---（4分）
（2）如四面体B1-ABC或四面体D1-ACD；-------------------------（8分）
（3）如四面体A-B1CD1（（3分） ）；-------------------------（11分）
设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则．---------（14分）