2008年湖北省武汉市高三四月调考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数，则z²=（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，若a₂+a₈=4，则其前9项的和S₉=（ ）
A．18
B．27
C．36
D．9

3. 难度：中等

若关于x的不等式的解集为{x|0＜x＜2}，则实数m的值为（ ）
A．1
B．-2
C．-3
D．3

4. 难度：中等

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为BB₁的中点，则点D到直线A₁M的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知A（1，0）和圆C：x²+y²=4上一点R，动点满足，则点P的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

函数上恒为正值，则实数a的取值范围为（ ）
A．（1，2）
B．（1，2]
C．（0，1）∪（1，2）
D．

7. 难度：中等

从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有1个白球；都是白球
B．至少有1个白球；至少有1个红球
C．恰有1个白球；恰有2个白球
D．至少有一个白球；都是红球

8. 难度：中等

用1，2，3这三个数字组成四位数，规定这三个数字必须都使用，但相同的数字不能相邻，以这样的方式组成的四位数共有（ ）
A．9个
B．18个
C．12个
D．36个

9. 难度：中等

如果关于x的方程有且仅有一个正实数解，那么实数a的取值范围为（ ）
A．{a|a≤0}
B．{a|a≤0或a=2}
C．{a|a≥0}
D．{a|a≥0或a=-2}

10. 难度：中等

已知a＞0，过M（a，0）任作一条直线交抛物线y²=2px（p＞0）于P，Q两点，若为定值，则a=（ ）
A．
B．2p
C．
D．p

二、解答题

11. 难度：中等

投掷两颗骰子，所得点数的差的绝对值等于2的概率为    ．

12. 难度：中等

若（2x-1）⁸=a₈x⁸+a₇x⁷+…+a₁x+a，则=    ．

13. 难度：中等

已知P为椭圆和双曲线的一个交点，F₁，F₂为椭圆的焦点，那么∠F₁PF₂的余弦值为    ．

14. 难度：中等

若△ABC的两条中线的长度分别为6，3，则△ABC面积的最大值为    ．

15. 难度：中等

曲线C：的切线l被坐标轴所截得线段的长的最小值为    ．

16. 难度：中等

已知函数的定义域为R，最大值为1（其中θ为常数，且）．
（1）求角θ的值；
（2）若f（x）=1，求cos2x的值．

17. 难度：中等

如图，在斜三棱柱ABC-A'B'C'中，∠ABC=90°，则侧面A'ACC'⊥侧面ABC，又AA'和底面所成60°的角，且AA'=2a，AB=BC=．
（1）求平面ABB'A'与底面ABC所成的角的正切值；
（2）求侧面BB'C'C的面积．

18. 难度：中等

假设设备的使用年限x与维修费用y（万元）有如下关系：

使用年限x（年）	2	3	4	5	6
维修费用y（万元）	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0

（1）如果y与x之间具有线性相关关系，求回归直线方程；
（2）估计使用年限为10年时维修费用是多少？
参考公式：．

19. 难度：中等

（1）已知函数（其中a为常数），求函数f（x）的单调区间；
（2）求证：不等式在0＜x＜1上恒成立．

20. 难度：中等

如图，在椭圆C：中，F₁，F₂分别为椭圆C的左右两个焦点，P为椭圆上且在第一象限内的点，△PF₁F₂的重心为G，内心为I．
（1）求证：IG∥F₁F₂；
（2）已知A为椭圆C的左顶点，直线l过右焦点F₂与椭圆C交于M，N两点，若AM，AN的斜率k₁，k₂满足，求直线l的方程．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}满足递推关系式：a_n+2a_n-a_n+1²=tⁿ（t-1），（n∈N^*），且a₁=1，a₂=t．（t为常数，且t＞1）
（1）求a₃；
（2）求证：{a_n}满足关系式a_n+2-2ta_n+1+ta_n=0，（n∈N^*；
（3）求证：a_n+1＞a_n≥1（n∈N^*）．