Question

如图，在斜三棱柱ABC-A'B'C'中，∠ABC=90°，则侧面A'ACC'⊥侧面ABC，又AA'和底面所成60°的角，且AA'=2a，AB=BC=．
（1）求平面ABB'A'与底面ABC所成的角的正切值；
（2）求侧面BB'C'C的面积．

Answer

（1）求平面ABB'A'与底面ABC所成的角的正切值，首先要做出二面角的平面角，再根据它所在的三角形的特征求出角的正切，本题中侧面A1ACC1⊥面ABC，过A1向底面ABC作垂线于垂足H，则H在AC上，再在面ABC内，过H向AB作垂线于垂足D，连接A1D，则∠A1DH是面A1ABB1与底ABC所成二面角的平面角，解三角形求出此角的正切值即可得到答案；
（2）由于平行四边形的面积是一边乘以这边上的高或者相邻两边与它们夹角的正弦的乘积，考查本题的图形及题设条件，由四边形的边长易知，且两邻边夹角的正弦值易知，故可用相邻两边与它们夹角的正弦的乘积求侧面BB'C'C的面积
【解析】
（1）∵侧面A1ACC1⊥面ABC．
过A1向底面ABC作垂线于垂足H，则H在AC上
又AA1和底面ABC所成角为60°∴∠A1AC=60°，又AA1=2a
故，AH=a
再在面ABC内，过H向AB作垂线于垂足D，连接A1D
则∠A1DH是面A1ABB1与底ABC所成二面角的平面角
在△ABC中，∠ABC=90°
则∠CAB=45°，AC=2a，从而
在△A1HD中，…（6分）
（2）过C1向AC的延长线作垂线于垂足M，则C1M⊥面ABC在△BCM中，CM=a，∠BCM=135°
∴
在Rt△BC1M中，，BC12=BM2+C1M2=8a2
在平行四边形BCC1B1中，
即
从而□BCC1B1的面积．…（12分）