2013年江苏省高考数学模拟试卷（五）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

复数在复平面上对应的点的坐标是    ．

2. 难度：中等

已知集合，B={0，1，2}，若A⊆B，则x=    ．

3. 难度：中等

为了调查城市PM2.5的值，按地域把36个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为6，12，18．若用分层抽样的方法抽取12个城市，则乙组中应抽取的城市数为    ．

4. 难度：中等

函数f（x）=x³-3x，x∈[-1，3]的最大值为    ．

5. 难度：中等

袋中装有大小相同且质地一样的五个球，五个球上分别标有“2”，“3”，“4”，“6”，“9”这五个数．现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数恰好能构成等差数列或等比数列的概率是    ．

6. 难度：中等

若一个正方形的四个顶点都在双曲线C上，且其一边经过C的焦点，则双曲线C的离心率是    ．

7. 难度：中等

已知函数f（x）=lg（a^x-b^x）（a＞1＞b＞0），且a²=b²+1，则不等式f（x）＞0的解集是    ．

8. 难度：中等

已知四点O（0，0），A（t，1），B（2，3），C（6，t），其中t∈R．若四边形OACB是平行四边形，且点P（x，y）在其内部及其边界上，则2y-x的最小值是    ．

9. 难度：中等

函数的部分图象如图所示，则=    ．

10. 难度：中等

在一个密封的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是    ．

11. 难度：中等

对于问题：“已知两个正数x，y满足x+y=2，求的最小值”，给出如下一种解法：
Qx+y=2，∴==，
Qx＞0，y＞0，∴，∴，
当且仅当，即时，取最小值．
参考上述解法，已知A，B，C是△ABC的三个内角，则的最小值为    ．

12. 难度：中等

过直线l：y=2x上一点P做圆的两条切线l₁，l₂，A，B为切点，当直线l₁，l₂关于直线l对称时，则∠APB=    ．

13. 难度：中等

设S_n为数列{a_n}的前n项之和．若不等式对任何等差数列{a_n}及任何正整数n恒成立，则λ的最大值为    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）满足，当x∈[1，3]时，f（x）=lnx，若在区间内，函数g（x）=f（x）-ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知函数．
（1）当m=0时，求函数f（x）在区间上的取值范围；
（2）当tanα=2时，，求m的值．

16. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，D为BC中点．
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ）求证：C₁A⊥B₁C．

17. 难度：中等

如图，某海域中有甲、乙两艘测量船分别停留在相距（）海里的M，N两地，他们在同时观测岛屿上中国移动信号塔AB，设塔底延长线与海平面交于点O．已知点M在点O的正东方向，点N在点O的南偏西15°方向，ON=2海里，在M处测得塔底B和塔顶A的仰角分别为30°和60°．
（1）求信号塔AB的高度；
（2）乙船试图在线段ON上选取一点P，使得在点P处观测信号塔AB的视角最大，请判断这样的点P是否存在，若存在，求出最大视角及OP的长；若不存在，说明理由．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=xe^-x（x∈R）
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，证明：当x＞1时，f（x）＞g（x）；
（Ⅲ）如果x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），证明x₁+x₂＞2．

19. 难度：中等

给定椭圆，称圆心在坐标原点x∈[2，6]，半径为的圆是椭圆m的“伴随圆”． 若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F₂距离为．
（Ⅰ）求椭圆C及其“伴随圆”的方程；
（Ⅱ）若过点P（0，m）（m＜0）的直线l与椭圆C只有一个公共点，且l截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为，求m的值；
（Ⅲ）过椭圆C“伴椭圆”上一动点Q作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个公共点，试判断直线l₁，l₂的斜率之积是否为定值，并说明理由．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}是以d为公差的等差数列，数列{b_n}是以q为公比的等比数列．
（1）若数列{b_n}的前n项和为S_n，且a₁=b₁=d=2，S₃＜5b₂+a₈₈-180，求整数q的值；
（2）在（1）的条件下，试问数列{b_n}中是否存在一项b_k，使得b_k恰好可以表示为该数列中连续P（P∈N，P≥2）项和？请说明理由；
（3）若b₁=a_r，b₂=a_s≠a_r，b₃=a_t（其中t＞s＞r，且（s-r）是（t-r）的约数）求证：数列{b_n}中每一项都是数列{a_n}中的项．

21. 难度：中等

如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点P，CE=BE，点E在BC上．求证：PE是⊙O的切线．

22. 难度：中等

已知矩阵A=，若直线y=kx在矩阵A对应的变换作用下得到的直线过点P（1，5），求实数k的值．

23. 难度：中等

在平面直角坐标系中，曲线C₁和C₂的参数方程分别为（为参数）和（θ为参数）．分别写出曲线C₁和C₂的普通方程并求出曲线C₁与C₂的交点坐标．

24. 难度：中等

已知正实数a，b，c成等比数列，求证：a²+b²+c²＞（a-b+c）²．

25. 难度：中等

如图，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=PA=1，AD=3，E是PB的中点．
（1）求证：AE⊥平面PBC；
（2）求二面角B-PC-D的余弦值．

26. 难度：中等

（1）已知k、n∈N^*，且k≤n，求证：；
（2）设数列a，a₁，a₂，…满足a≠a₁，a_i-1+a_i+1=2a_i（i=1，2，3，…）．证明：对任意的正整数n，是关于x的一次式．