Question

已知函数f（x）满足，当x∈[1，3]时，f（x）=lnx，若在区间内，函数g（x）=f（x）-ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是    ．

Answer

可以根据函数f（x）满足f（x）=2f（ ），求出x在[，1]上的解析式，已知在区间[，3]内，函数g（x）=f（x）-ax，有三个不同的零点，对g（x）进行求导，利用导数研究其单调性，从而求出a的范围．
【解析】
在区间[，3]内，函数g（x）=f（x）-ax，有三个不同的零点，
①a＞0若x∈[1，3]时，f（x）=lnx，可得g（x）=lnx-ax，（x＞0）
g′（x）=-a=，
若g′（x）＜0，可得x＞，g（x）为减函数，
若g′（x）＞0，可得x＜，g（x）为增函数，
此时f（x）必须在[1，3]上有两个交点，
∴，解得，≤a＜①
设 ＜x＜1，可得1＜＜3，
∴f（x）=2f（ ）=2ln ，此时g（x）=-2lnx-ax，
g′（x）=-，
若g′（x）＞0，可得x＜-＜0，g（x）为增函数
若g′（x）＜0，可得x＞-，g（x）为减函数，
在[，1]上有一个交点，则 ，解得0＜a≤6ln3②
综上①②可得  ≤a＜；
②若a＜0，对于x∈[1，3]时，g（x）=lnx-ax＞0，没有零点，不满足在区间[，3]内，函数g（x）=f（x）-ax，有三个不同的零点，
综上：≤a＜．
故答案为：≤a＜．