Question

如图，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=PA=1，AD=3，E是PB的中点．
（1）求证：AE⊥平面PBC；
（2）求二面角B-PC-D的余弦值．

Answer

（1）建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，求得•=0，•=0，即可证得结论；
（2）确定平面PCD、平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式可得结论．
 （1）证明：根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，
A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），
D（0，3，0），P（0，0，1），E（，0，），
∴=（，0，），=（0，1，0），
=（-1，0，1）．
∴•=0，•=0，
所以⊥，⊥．
所以AE⊥BC，AE⊥BP．
因为BC，BP⊂平面PBC，且BC∩BP=B，
所以AE⊥平面PBC．              
（2）【解析】
设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则•=0，•=0．
因为=（-1，2，0），=（0，3，-1），所以．
令x=2，则y=1，z=3．
所以=（2，1，3）是平面PCD的一个法向量．              …8分
因为AE⊥平面PBC，所以平面PBC的法向量．
所以cos＜，＞==．
根据图形可知，二面角B-PC-D的余弦值为-．          …10分