Question

已知数列{a_n}是以d为公差的等差数列，数列{b_n}是以q为公比的等比数列．
（1）若数列{b_n}的前n项和为S_n，且a₁=b₁=d=2，S₃＜5b₂+a₈₈-180，求整数q的值；
（2）在（1）的条件下，试问数列{b_n}中是否存在一项b_k，使得b_k恰好可以表示为该数列中连续P（P∈N，P≥2）项和？请说明理由；
（3）若b₁=a_r，b₂=a_s≠a_r，b₃=a_t（其中t＞s＞r，且（s-r）是（t-r）的约数）求证：数列{b_n}中每一项都是数列{a_n}中的项．

Answer

（1）由等差等比数列的表达式an=2n，bn=2•qn-1，代入S3＜a88+5b2-180直接求解即得到答案．
（2）可以先假设数列{bn}中存在一项bk，满足bk=bm+bm+1+bm+2+…+bm+p-1，再根据已知的条件去验证，看是否能找出矛盾．如果没有矛盾即存在，否则这样的项bk不存在；
（3）由已知条件b1=ar，得b2=b1q=arq=as=ar+（s-r）d，和等差等比数列的性质，由数学归纳法求证数列中每一项是否都是数列中的项．
【解析】
（1）由题意知，an=2n，bn=2•qn-1，所以由S3＜a88+5b2-180，
可得，b1+b2+b3＜a88+5b2-180⇒b1-4b2+b3＜176-180⇒q2-4q+3＜0．
解得1＜q＜3，又q为整数，所以q=2；
（2）不存在这样的项．理由如下：
假设数列{bn}中存在一项bk，满足bk=bm+bm+1+bm+2+…+bm+p-1，
因为bn=2n，∴bk＞bm+p-1⇒2k＞2m+p-1⇒k＞m+p-1⇒k≥m+p（*），
又bk=2k=bm+bm+1+bm+2+…+bm+p-1=2m+2m+1++2m+p-1==2m+p-2m＜2m+p，
所以k＜m+p，此与（*）式矛盾．
所以，这样的项bk不存在；
（Ⅲ）由b1=ar，得b2=b1q=arq=as=ar+（s-r）d，
则d=，
又b3=b1q2=arq2=at=ar+（t-r）d⇒arq2-ar=（t-r）•，
从而ar（q+1）（q-1）=ar（q-1）•，
因为as≠ar⇒b1≠b2，所以q≠1，又ar≠0，
故q=-1．又t＞s＞r，且（s-r）是（t-r）的约数，
所以q是整数，且q≥2，
对于数列中任一项bi（这里只要讨论i＞3的情形），
有bi=arqi-1=ar+ar（qi-1-1）
=ar+ar（q-1）（1+q+q2++qi-2）
=ar+d（s-r）（1+q+q2++qi-2）
=ar+[（（s-r）（1+q+q2++qi-2）+1）-1]•d，
由于（s-r）（1+q+q2++qi-2）+1是正整数，所以bi一定是数列{an}的项．
故得证．