甘肃省2016-2017学年高一下学期期中考试数学试卷

一、选择题

1. 难度：困难

在四边形中，设， 且， ，则四边形的形状是（     ）

A. 梯形    B. 矩形    C. 菱形    D. 正方形

2. 难度：中等

是内一点，且，则是的（     ）

A. 重心    B. 内心    C. 外心    D. 垂心

3. 难度：简单

的值为（    ）

A.     B.     C.     D.

4. 难度：中等

已知，若，则的值为（   ）

A．2       B．         C．3          D．

5. 难度：困难

设为锐角，若，则（   ）

A．          B．          C．          D．

6. 难度：简单

在中， ，则最短边长等于（ ）

A.     B.     C.     D.

7. 难度：中等

为了得到函数的图象，可以将函数的图象（   ）

A．向右平移个单位            B．向右平移个单位

C．向左平移个单位             D．向左平移个单位

8. 难度：简单

如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（  ）

A. 锐角三角形    B. 直角三角形    C. 钝角三角形    D. 由增加的长度决定

9. 难度：简单

设函数（为常实数）在区间上的最小值为，则的值等于（ ）

A. 4    B. -6    C. -3    D. -4

10. 难度：简单

若，，则与的大小关系为（   ）

A．          B．            C．            D．不确定

11. 难度：困难

已知向量满足， 与的夹角为，若对一切实数， 恒成立，则的取值范围是（ ）

A.     B.     C.     D.

12. 难度：中等

如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则的值是（ ）

A. 1    B.     C.     D.

二、填空题

13. 难度：简单

若，则可化简为_________.

14. 难度：简单

中， ， ，若有2解，则边长长的范围是__________．

15. 难度：中等

已知是的外心，且，存在非零实数使且，则_________.

16. 难度：困难

由正弦的和角公式与正弦二倍公式，求①__________；（用表示）②利用二倍角和三倍角公式及，求____

三、解答题

17. 难度：困难

已知函数．

（1）求函数的最小正周期及最值；

（2）令，判断函数的奇偶性，并说明理由.

18. 难度：简单

在锐角中，连是方程的两根，角满足：.

（1）求角的度数；

（2）求边的长度及的面积．

19. 难度：简单

在中， 分别为内角的对边，且.

（1）求的大小；

（2）若，试判断的形状.

20. 难度：简单

已知向量， .

（1）若，求的值；

（2）记在中角的对边分别为，且满足，求的取值范围.

21. 难度：中等

某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口北偏西且与该港口相距20海里的处，并以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小船沿直线方向以海里/时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇.

（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.

22. 难度：压轴

如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边为半圆的直径， 为半圆的圆心， ，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形，其底边.

（1）设，求三角形铁皮的面积；

（2）求剪下的铁皮三角形的面积的最大值.