Question

如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边为半圆的直径， 为半圆的圆心， ，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形，其底边.

（1）设，求三角形铁皮的面积；

（2）求剪下的铁皮三角形的面积的最大值.

Answer

（1）三角形铁皮的面积为；（2）剪下的铁皮三角形的面积的最大值为.

【解析】试题分析：（1）设交于点，∵，∴，

；（2）设，∴，把用表示出来，进一步把三角形铁皮的面积表示为关于的三角函数，利用换元法转化为关于的二次函数求最值.

试题解析：（1）设交于点，∵，∴，

.

（2）设，∴，

∴

令， ，

当时， 取最大值，为.

考点：1、直角三角形边角关系；2、换元法求最值.

【方法点睛】（１）设交于点，∵，∴， .（２）设，∴，把用表示出来，进一步把三角形铁皮的面积表示为关于的三角函数，利用换元法转化为关于的二次函数求最值.