2017届北京市西城区高三4月统一测试（一模）数学理试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：简单

已知全集,集合, ,那么 (   )

A.     B.     C.     D.

二、选择题

2. 难度：简单

在复平面内,复数的对应点位于(   )

A. 第一象限    B. 第二象限    C. 第三象限    D. 第四象限

3. 难度：简单

函数的最小正周期是 (   )

A.     B.     C.     D.

4. 难度：简单

函数的零点个数为(   )

A. 0    B. 1    C. 2    D. 3

5. 难度：中等

在中，点满足，则（   ）

A.     B.

C.     D.

6. 难度：简单

在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示，如果小正方形网格的边长为1，那么该四面体最长棱的棱长为（   ）

A.     B.     C. 6    D.

7. 难度：中等

数列的通项公式为,则“”是 “为递增数列”的（   ）

A. 充分而不必要条件    B. 必要而不充分条件

C. 充要条件    D. 既不充分也不必要条件

8. 难度：困难

将五个1，五个2，五个3，五个4，五个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一行中任何两数之差的绝对值不超过2，考查每行中五个数之和，记这五个和的最小值为，则的最大值为（   ）

A.     B. 9    C. 10    D. 11

三、填空题

9. 难度：简单

在的展开式中， 的系数为__________．（用数字作答）

10. 难度：简单

设等比数列的前项和为，若， ，则__________； __________．

11. 难度：简单

执行如图所示的程序框图，输出的值为__________．

12. 难度：简单

曲线（为参数）与直线相交于， 两点，则__________．

13. 难度：中等

实数， 满足， ，若，则的取值范围是__________．

14. 难度：中等

如图，正方体的棱长为2，点在正方形的边界及其内部运动，平面区域由所有满足的点组成，则的面积是__________，四面体的体积的最大值是__________．

四、解答题

15. 难度：中等

在中，角， ， 的对边分别为， ， ，且．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）求的取值范围．

16. 难度：中等

如图，在正四棱锥中， ， ， 分别为， 的中点．

（Ⅰ）求证： 平面；

（Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值；

（Ⅲ）若平面与棱交于点，求的值．

17. 难度：中等

在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第题的难度， 为答对该题的人数， 为参加测试的总人数．现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题，测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如表所示：

题号	1	2	3	4	5
考前预估难度	0.9	0.8	0.7	0.6	0.4

测试后，从中随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如表：

（Ⅰ）根据题中数据，估计中240名学生中第5题的实测答对人数；

（Ⅱ）从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为，求的分布列和数学期望；

（Ⅲ）试题的预估难度和实测难度之间会有偏差．设为第题的实测难度，请用和设计一个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理．

18. 难度：中等

已知函数．设为曲线在点处的切线，其中．

（Ⅰ）求直线的方程（用表示）；

（Ⅱ）设为原点，直线分别与直线和轴交于， 两点，求的面积的最小值．

19. 难度：中等

如图，已知椭圆： 的离心率为， 为椭圆的右焦点， ， .

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设为原点， 为椭圆上一点， 的中点为，直线与直线交于点，过且平行于的直线与直线交于点．求证： ．

20. 难度：困难

如图，将数字1,2,3，…， （）全部填入一个2行列的表格中，每格填一个数字，第一行填入的数字依次为， ，…， ，第二行填入的数字依次为， ，…， ．记．

（Ⅰ）当时，若， ， ，写出的所有可能的取值；

（Ⅱ）给定正整数．试给出， ，…， 的一组取值，使得无论， ，…， 填写的顺序如何， 都只有一个取值，并求出此时的值；

（Ⅲ）求证：对于给定的以及满足条件的所有填法， 的所有取值的奇偶性相同.