Question

如图，已知椭圆： 的离心率为， 为椭圆的右焦点， ， .

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设为原点， 为椭圆上一点， 的中点为，直线与直线交于点，过且平行于的直线与直线交于点．求证： ．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ见解析

【解析】试题分析：

（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意，得， ，解得， ，

所以，即可求出椭圆的方程．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，设的中点， ．设直线的方程为： （），将其代入椭圆方程，整理得，所以，所以．所以直线的斜率是，所以直线的方程是，令，得，直线的方程是，令，得，得直线的斜率是，所以，根据直角三角形的性质可证明结果.

试题解析：

（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意，得， ，

解得， ，

所以，

所以椭圆的方程是．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，设的中点， ．

设直线的方程为： （），将其代入椭圆方程，整理得，

所以，

所以， ，即．

所以直线的斜率是，

所以直线的方程是，令，得，

直线的方程是，令，得，

由，得直线的斜率是，所以，记垂足为，

在和 中， 和都与互余，

所以 ．