Question

如图，在正四棱锥中， ， ， 分别为， 的中点．

（Ⅰ）求证： 平面；

（Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值；

（Ⅲ）若平面与棱交于点，求的值．

Answer

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】试题分析：

（Ⅰ）设，则为底面正方形中心，连接．因为为正四棱锥，所以平面，所以．又，根据线面垂直的判定定理即可证明结果．（Ⅱ）因为， ， 两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系，然后再利用空间向量和法向量，即可求出结果；（Ⅲ）连接．设，其中，则，所以，设平面的法向量为，又，所以即可得，因为平面，所以，据此即可求出结果.

试题解析：

（Ⅰ）设，则为底面正方形中心，连接．

因为为正四棱锥，

所以平面，

所以．

又，且，

所以平面．

（Ⅱ）因为， ， 两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系．

∵，∴，

∴，

设，所以， ， ， ， ， ， ．

∴， ．

∴，

即异面直线与所成角的余弦值为.

（Ⅲ）连接．

设，其中，则，

所以，

设平面的法向量为，又，所以即

所以，令， ，所以，

因为平面，所以，

即，解得，所以.