Question

已知函数．设为曲线在点处的切线，其中．

（Ⅰ）求直线的方程（用表示）；

（Ⅱ）设为原点，直线分别与直线和轴交于， 两点，求的面积的最小值．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）1

【解析】试题分析：（Ⅰ）对求导数，得，由导数的几何意义可知切线的斜率为，由此得切线的方程．（Ⅱ）依题意，切线方程中令，得，所以， ，所以 ， .设， ．然后再根据导数和函数的单调性可得，从而的面积的最小值．

试题解析：

（Ⅰ）对求导数，得，

所以切线的斜率为，

由此得切线的方程为，

即．

（Ⅱ）依题意，切线方程中令，

得，

所以， ，

所以 ， .

设， ．

则，

令，得或．

， 的变化情况如表：

所以在单调递减；在单调递增，

所以，

从而的面积的最小值为1．

点睛：用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为： ．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．