2012-2013学年四川省成都市高新区高三（上）12月统测数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|x²-x-2＜0}，B={x|-1＜x＜1}，则（ ）
A．A⊊B
B．B⊊A
C．A=B
D．A∩B=∅

2. 难度：中等

复数所对应复平面内的点在第二象限，则（ ）
A．m＜4
B．m＜0
C．-1＜m＜4
D．m＜-1

3. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的前三项依次为a-1，a+1，a+4，则a_n=（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

x是实数，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．x²+4＞4
B．
C．lg（x²+1）＞lg（2x）
D．x²+1＞

5. 难度：中等

设l、m、n表示三条直线，α、β、r表示三个平面，则下面命题中不成立的是（ ）
A．若l⊥α，m⊥α，则l∥m
B．若m⊂β，n是l在β内的射影，m⊥l，则m⊥n
C．若m⊂α，n⊄α，m∥n，则n∥α
D．若α⊥r，β⊥r，则α∥β

6. 难度：中等

已知-1≤x+y≤4且2≤x-y≤3，则z=2x²+2y²的最小值（ ）
A．
B．4
C．
D．2

7. 难度：中等

如图，非零向量=a，=b，且，C为垂足，设向量，则λ的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n+n，利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框中应填的语句是（ ）

A．n＞10
B．n≤10
C．n＜9
D．n≤9

9. 难度：中等

在平面直角坐标系中，O（0，0），P（6，8），将向量按逆时针旋转后，得向量则点Q的坐标是（ ）
A．（-7）
B．（-7，）
C．
D．（-4，2）

10. 难度：中等

已知方程x²-9x+2^a=0和x²-6x+2^b=0分别存在两个不等实根，其中这四个根组成一个公比为2的等比数列，则a+b=（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

二、填空题

11. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．则A的大小是    ．

12. 难度：中等

函数的定义域为    ．

13. 难度：中等

已知函数y=f（x）的导数为f′（x）且，则=    ．

14. 难度：中等

现有下列命题：
①设a，b为正实数，若a²-b²=1，则a-b＜1；
②设，均为单位向量，若；
③数列；
④设函数，则关于x的方程f²（x）+2f（x）=0有4个解．
其中的真命题有    ．（写出所有真命题的编号）．

15. 难度：中等

选做题（请在以下两题中任选一题作答，若两题都做，只计（1）题分）
（1）在平面直角坐标系xoy中，，则直线倾斜角的余弦值为    ．
（2）已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|，则f（x）的取值范围是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1、2、3、4、5．现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：

X	1	2	3	4	5
f	a	0.2	0.45	b	c

（1）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有4件，等级系数为5的恰有2件，求a、b、c的值；
（2）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x₁，x₂，x₃，等级系数为5的2件日用品记为y₁，y₂，现从x₁，x₂，x₃，y₁，y₂，这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求选取的两件日用品中恰有一件等级系数为4的概率．

17. 难度：中等

已知向量，函数的最大值为6，最小正周期为π．
（1）求A，ω的值；
（2）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．求上的值域．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}是公差为2的等差数列，且a₁+1，a₃+1，a₇+1成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令，记数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：．

19. 难度：中等

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．
（I）求证：BC⊥平面ACFE；
（Ⅱ）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²+1（a＞0），g（x）=x³+bx．
（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处有公共切线，求a，b的值；
（2）当a=3，b=-9时，函数f（x）+g（x）在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数，，其中e=2.71828…．
（1）若f（x）在其定义域内是单调函数，求实数p的取值范围；
（2）若p∈（1，+∞），问是否存在x＞0，使f（x）≤g（x）成立？若存在，求出符合条件的一个x；否则，说明理由．