2012-2013学年湖南师大附中高三第三次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={1，2}，B={2，4}，则集合M={z|z=x•y，x∈A，y∈B}中元素的个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

2. 难度：中等

复数z=a²-a-2+i（a∈R）为纯虚数的充分不必要条件是（ ）
A．0
B．a=-1
C．a=-1或a=2
D．a=l或a=-2

3. 难度：中等

如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB=（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知等差数列{a_n}中，前四项的和为60，最后四项的和为260，且S_n=520，则a₇为（ ）
A．20
B．40
C．60
D．80

5. 难度：中等

抛物线y²=4x与直线y=x-8所围成图形的面积为（ ）
A．84
B．168
C．36
D．72

6. 难度：中等

S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图，SA=SB=SC，且∠ASB=∠BSC=∠CSA=，M，N分别是AB和SC的中点，则异面直线SM与BN所成角的余弦值为（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

如图，点F为椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上存在一点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点，则该椭圆的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

若函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的图象和直线y=x无交点，给出下列结论：
①方程f[f（x）]=x一定没有实数根；
②若a＜0，则必存在实数x，使f[f（x）]＞x；
③若a+b+c=O，则不等式f[f（x）]＜x对一切实数x都成立；
④函数g（x）=ax²-bx+c的图象与直线y=-x也一定没有交点．
其中正确的结论个数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

二、填空题

9. 难度：中等

某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件．那么此样本的容量n=    ．

10. 难度：中等

已知函数f（x）=-x³，则不等式f（2x²-1）＜-1的解集为    ．

11. 难度：中等

盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于    ．

12. 难度：中等

设正实数x，y，z满足x+2y+z=1，则的最小值为    ．

13. 难度：中等

如图，在△ABC中，点E为AB边的中点，点F在AC边上，且CF=2FA，BF交CE于点M，设，则x-y=    ．

14. 难度：中等

已知实数x，y满足，则3x²+y²最小值为    ．

15. 难度：中等

形如  的数阵称为n阶矩阵，有n²（n无穷大）个数以一定的规则排列，构成如下n阶矩阵：

此表中，主对角线上的数依次为l，2，5，10，17，…，则主对角线上的第101个数为    ，数字2013在此表中共出现    次．

三、解答题

16. 难度：中等

已知向量，函数f（x）=．
（1）求f（x）的对称轴方程；
（2）若且，求的值．

17. 难度：中等

某同学参加某高校的自主招生考试（该测试只考语文、数学、英语三门课程），其中该同学语文取得优秀成绩的概率为0.5，数学和英语取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＜q），且不同课程取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为：

ξ		1	2	3
P	0.12	a	b	0.12

（1）求p，q的值；
（2）求数学期望Eξ

18. 难度：中等

如图l，四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥AD，DC⊥BC，将△DCB沿BD折起，使AC⊥BC，如图2．点E在DC上，AE=且AE⊥DC，若二面角A-BD-C的正弦值为．
（1）求证：AE⊥BD；
（2）求三棱锥D-ABE的体积．

19. 难度：中等

某县为落实国家农村医疗保险（简称“医保”）的政策，制定了如下实施方案：2011年底通过农民个人投保和政府财政投入，共筹资l 000万元作为全县的农村医保基金，并且从2012年起农民每年报销的医保费都为上一年年底农村医保基金余额的10%，并且每年年底县财政都向医保基金补充m（m＞0）万元．
（1）以2011年为第1年，求第n（n≥1）年年底该县农村医保基金有多少万元？（用m，n表示）
（2）根据该县的农村人口数量和财政状况，县政府要求每年年底农村医保基金逐年增加且不超过1 500万元，问：每年补充的医保基金m（单位：万元）应控制在什么范围？

20. 难度：中等

如图，已知抛物线C：y²=2px和⊙M：（x-4）²+y²=1，过抛物线C上一点H（x，y）（y≥1）作两条直线与⊙M相切于A、两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点M到抛物线准线的距离为．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）当∠AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率；
（Ⅲ）若直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=2x（e^x-1）-x²（x∈R）．
（1）求证：函数f（x）有且只有两个零点；
（2）已知函数y=g（x）的图象与函数h（x）=-f（-x）-x²+x的图象关于直线x=l对称．证明：当x＞l时，h（x）＞g（x）；
（3）如果一条平行x轴的直线与函数y=h（x）的图象相交于不同的两点A和B，试判断线段AB的中点C是否属于集合M={（x，y）||x|+|y|≤1}，并说明理由．