2012-2013学年四川省成都外国语学校AP国际部高二（上）期末数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若直线l经过两点（-1，2），（-3，4），则直线l的倾斜角为（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

若命题“p∧q”为假，且“￢p”为假，则（ ）
A．p或q为假
B．q假
C．q真
D．不能判断q的真假

3. 难度：中等

在三棱锥V-ABC中，若VA=VC，AB=BC，则VB，AC所在直线的位置关系是（ ）
A．平行
B．相交
C．垂直
D．以上都不对

4. 难度：中等

已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0），（4，0），则双曲线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知方程表示椭圆，则k的取值范围（ ）
A．（3，5）
B．（5，+∞）
C．（-∞，3）
D．（3，4）∪（4，5）

6. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中AB的中点为M，DD₁的中点为N，则异面直线B₁M与CN所成的角是（ ）
A．0°
B．45°
C．60°
D．90°

7. 难度：中等

如果圆x²+y²=1与直线x+y+m=0相切，那么实数m的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．

8. 难度：中等

有下列四个命题：
①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤1，则x²+2x+q=0有实根”的逆命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题；
其中真命题的序号有（ ）
A．①②③
B．①③④
C．①③
D．①④

9. 难度：中等

（文）若点F₁，F₂为椭圆的焦点，P为椭圆上的点，满足∠F₁PF₂=90°，则△F₁PF₂的面积为（ ）
A．1
B．2
C．
D．4

10. 难度：中等

将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，有如下四个结论：
①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD所成的角为60°；④AB与CD所成的角为60°．
其中错误的结论是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④

二、填空题

11. 难度：中等

如果圆锥的轴截面是一个边长为4cm正三角形，那么这个圆锥的体积是    ．

12. 难度：中等

若直线x-y-2=0被圆（x-a）²+y²=4所截得的弦长为，则实数a的值为    ．

13. 难度：中等

如果双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点，那么双曲线其方程是    ．

14. 难度：中等

如果一个球内接正方体的表面积为24a²cm²，那么这个球的体积为    ．

15. 难度：中等

给出下列四个命题
（1）“k=1”是“函数y=cos²kx-sin²kx的最小正周期为π”的充要条件；
（2）“a=3”是“直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a-1）y=a-7互相平行”的充要条件；
（3）函数的最小值为2；
（4）双曲线的两条渐近线是．
其中是假命题为    （将你认为是假命题的序号都填上）

三、解答题

16. 难度：中等

已知点B是曲线2x²+1-y=0上任意一点，A（0，4）且M是线段AB中点，求动点M的轨迹方程．

17. 难度：中等

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁垂直平面ABC，三角形ABC为等边三角形，D为AB中点．
（1）求证：AB⊥C₁D；
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁．
（3）如果AB=4cm，AA₁=cm，求异面直线C₁D与AA₁所成角的大小．

18. 难度：中等

已知双曲线4x²-y²=1及直线y=x+m．
（1）当m为何值时，直线与双曲线有公共点？
（2）若直线被双曲线截得的弦长为，求直线的方程．

19. 难度：中等

如图，在三棱锥V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC=BC=2，．
（1）求证：平面VAB⊥平面VCD；
（2）求二面角V-AB-C的大小；
（3）求点C到平面VAB的距离．

20. 难度：中等

已知椭圆E：（a＞b＞0）过点P（3，1），其左、右焦点分别为F₁，F₂，且．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若M，N是直线x=5上的两个动点，且F₁M⊥F₂N，则以MN为直径的圆C是否过定点？请说明理由．