Question

已知双曲线4x²-y²=1及直线y=x+m．
（1）当m为何值时，直线与双曲线有公共点？
（2）若直线被双曲线截得的弦长为，求直线的方程．

Answer

（1）由，得：3x2-2mx-m2-1=0，利用根的判断式得到不论m为何实数，直线与双曲线都有公共点．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程3x2-2mx-m2-1=0的二实数根，由弦长公式得，由此能求出直线方程．
【解析】
（1）由消去y得：3x2-2mx-m2-1=0，…（*）
∵△=（-2m）2-4•3（-m2-1）=16m2+12
由于对于m∈R，△=16m2+1＞0恒成立，
不论m为何实数，直线与双曲线都有公共点．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程3x2-2mx-m2-1=0，…（*）的二实数根，
∴，
由弦长公式得：，解之得：m=±1
故所求直线方程是：y=x±1．