2012-2013学年北京市海淀区进修学校高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在等比数列a_n中，若a₄=8，q=-2，则a₇的值为（ ）
A．-64
B．64
C．-48
D．48

2. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若，则数列{a_n}的公差是（ ）
A．
B．1
C．2
D．3

3. 难度：中等

已知△ABC中，，，B=60°，那么角A等于（ ）
A．135°
B．90°
C．45°
D．30°

4. 难度：中等

若a＜b＜0，则（ ）
A．a²＜b²
B．a²＜ab
C．
D．b²＞ab

5. 难度：中等

顶点为原点，焦点为F（0，-1）的抛物线方程是（ ）
A．y²=-2
B．y²=-4
C．x²=-2y
D．x²=-4y

6. 难度：中等

双曲线的焦点坐标是（ ）
A．（-6，0），（6，0）
B．
C．（-2，0），（2，0）
D．

7. 难度：中等

在椭圆中，F₁，F₂为其左、右焦点，以F₁F₂为直径的圆与椭圆交于A，B，C，D四个点，若F₁，F₂，A，B，C，D恰好为一个正六边形的六个顶点，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=|n-13|，则满足a_k+a_k+1+…+a_k+19=102的整数k（ ）
A．有3个
B．有2个
C．有1个
D．不存在

二、填空题

9. 难度：中等

抛物线y²=2x上横坐标为2的点到其焦点的距离为    ．

10. 难度：中等

（文）在△ABC中，a=3，b=5，C=120°，则c=    ．

11. 难度：中等

渐近线为y=±x，且过点（1，3）的双曲线方程是    ．

12. 难度：中等

已知递增的等差数列{a_n}满足a₁=1，a₃=a₂²-4，则a_n=    ．

13. 难度：中等

已知数列{a_n}对任意的p，q∈N^*满足a_p+q=a_p+a_q，且a₂=-6，那么a₁₀等于    ．

14. 难度：中等

观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10条直线相交，交点的个数最多是    ，其通项公式为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，．
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

16. 难度：中等

等比数列{a_n}的前n项和为s_n，已知S₁，S₃，S₂成等差数列，
（1）求{a_n}的公比q；
（2）求a₁-a₃=3，求s_n．

17. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=4a_n-3（n∈N^*）．
（Ⅰ）证明：数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n+1=a_n+b_n（n∈N^*），且b₁=2，求数列{b_n}的通项公式．

18. 难度：中等

已知椭圆的左焦点为F₁，直线l：y=x-2与椭圆C交于A、B两点．
（1）求线段AB的长；
（2）求△ABF₁的面积．

19. 难度：中等

已知拋物线C：x²=2py（p＞0）的焦点F在直线x-y+1=0上．
（1）求拋物线C的方程；
（2）设直线l经过点A（-1，-2），且与拋物线C有且只有一个公共点，求直线l的方程．

20. 难度：中等

给出下面的数表序列：

其中表n（n=1，2，3 …）有n行，第1行的n个数是1，3，5，…2n-1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．
（I）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n（n≥3）（不要求证明）；
（II）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1，4，12…，记此数列为{b_n}求和：（n∈N⁺）

21. 难度：中等

已知，椭圆C过点A，两个焦点为（-1，0），（1，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．