2012-2013学年上海市黄浦区格致中学高三（上）第二次测验数学试卷（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知集合M={3，2^a}，N={a，b}，若M∩N={2}，则M∪N=    ．

2. 难度：中等

若复数z=（m+1）-（m-3）i在复平面内对应的点在第二或第四象限，则实数m的取值范围是    ．

3. 难度：中等

已知角α是第一象限角，且是其终边上一点，若，则a的值为    ．

4. 难度：中等

已知向量，若与垂直，则=    ．

5. 难度：中等

从某项综合能力测试中（满分5分），随机抽取10人的成绩，统计如下表，则用这10人的成绩来估计总体方差，则总体方差的点估计值为    ．（精确到0.001）

分数	5	4	3	2	1
人数	3	1	1	3	2

6. 难度：中等

某次文艺汇演中共有9个展演节目，其中有两个是歌舞类节目，现随机安排演出表，则出现歌舞类节目即不在第一个，也不在最后一个，且不连续演出的概率为    ．（结果用最简分数表示）

7. 难度：中等

如图是在一个半球上面放一个圆锥，其中圆锥的底面与半球的底面重合，且圆锥的体积与半球体积相等，则圆锥的轴截面两条母线的夹角为    ．（结果用反三角函数表示）

8. 难度：中等

如图程序框图，则输出结果为    ．

9. 难度：中等

设a₁、d为实数，若首项为a₁，公差为d的等差数列{a_n}的前n项的和为S_n，满足S₅•S₆=-15，则a₁的取值范围是    ．

10. 难度：中等

（理）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则△ABC的面积等于    ．

11. 难度：中等

若的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中的系数为    ．

12. 难度：中等

设函数f（x）=x-，对任意x∈[1，+∞），f（mx）+mf（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+2|x|-15，定义域是[a，b]（a，b∈Z），值域是[-15，0]，则满足条件的整数对（a，b）有    对．

14. 难度：中等

若关于x的不等式（2x-1）²≤ax²的解集中的整数恰有2个，则实数a的取值范围是    ．

二、选择题

15. 难度：中等

记实数x₁，x₂，…x_n中的最大数为max{x₁，x₂，…x_n}，最小数为min{x₁，x₂，…x_n}．已知△ABC的三边边长为a、b、c（a≤b≤c），定义它的倾斜度为，则“t=1”是“△ABC为等边三角形”的（ ）
A．充分布不必要的条件
B．必要而不充分的条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要的条件

16. 难度：中等

如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则这些函数为“互为生成”函数，给出下列函数，其中与f（x）=sinx+cosx构成“互为生成”函数的为（ ）
A．f₂（x）=sin
B．
C．
D．

17. 难度：中等

下列四个算式：
①；
②；
③a₁b₂c₃+a₂b₃c₁+a₃b₁c₂-a₁b₃c₂-a₂b₁c₃-a₃b₂c₁；  
④
其中运算结果与行列式的运算结果相同的算式有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

18. 难度：中等

若定义在（-∞，1）∪（1，+∞）上的函数y=f（x）满足f（x+2）=f（-x），且当x∈（1，+∞）时，，则下列结论中正确的是（ ）
A．存在t∈R，使f（x）≥2在恒成立
B．对任意t∈R，0≤f（x）≤2在恒成立
C．对任意t∈R^-，f（x）在上始终存在反函数
D．对任意t∈R⁺，f（x）在上始终存在反函数

三、解答题

19. 难度：中等

已知A={a|不等式x²+2ax+4＞0在x∈R上恒成立}，且
（1）若k=1，求A∩C_RB；
（2）若C_RA⊊C_RB，求实数k的取值范围．

20. 难度：中等

已知向量=（sinx，cosx），=（6sinx+cosx，7sinx-2cosx），设函数f（x）=•-2．
（1）求函数f（x）的最大值，并求取得最大值时x的值；
（2）在A为锐角的△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若f（A）=4且△ABC的面积为3，，求a的值．

21. 难度：中等

已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，点M是棱AA′的中点，点O是对角线BD′的中点．
（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA′和BD′的公垂线；
（Ⅱ）求二面角M-BC′-B′的大小；
（Ⅲ）求三棱锥M-OBC的体积．

22. 难度：中等

已知椭圆的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为和，直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．
（1）求此椭圆的方程；
（2）若，求k的值；
（3）求四边形AEBF面积的最大值．

23. 难度：中等

设函数．
（1）当b=0时，已知f（x）在[2，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（2）当a是整数时，存在实数x，使得f（x）是f（x）的最大值，且g（x）是g（x）的最小值，求所有这样的实数对（a，b）；
（3）定义函数h（x）=-（x-2k）²-2（x-2k），x∈（2k-2，2k），k=0，1，2，…，则当h（x）取得最大值时的自变量x的值依次构成一个等差数列，写出该等差数列的通项公式（不必证明）．