2012-2013学年江西省吉安市白鹭洲中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数，且A+B=0，则m的值是（ ）
A．
B．
C．-
D．2

2. 难度：中等

已知x=a+（a＞2），y=（b＜0），则x，y之间的大小关系是（ ）
A．x＞y
B．x＜y
C．x=y
D．不能确定

3. 难度：中等

设※是集合A中元素的一种运算，如果对于任意的x，y∈A都有x※y∈A，则称运算※对集合A是封闭的，若M={x|x=a+b，a，b∈Z}，则对集合M不封闭的运算是（ ）
A．加法
B．减法
C．乘法
D．除法

4. 难度：中等

已知α、β均为锐角，若p：sinα＜sin（α+β），q：α+β＜，则p是q的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则函数y=f′（x）的图象可能是（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

平面内有相异的四点O、A、B、C，满足，则△ABC的形状是（ ）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．以BC为底边的等腰三角形
D．以AB为底边的等腰三角形

7. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₁=1，点（n，S_n）在曲线C上，C和直线x-y+1=0交于A，B两点，|AB|=，那么这个数列的通项公式是（ ）
A．a_n=2n-1
B．a_n=3n-2
C．a_n=4n-3
D．a_n=5n-4

8. 难度：中等

直线Ax+By+C=0与圆x²+y²=4交于M、N两点，若满足C²=A²+B²，则（O为坐标原点）等于（ ）
A．-2
B．-1
C．0
D．1

9. 难度：中等

函数 ，，，的图象分别是点集C₁，C₂，C₃，C₄，这些图象关于直线x=0的对称曲线分别是点集D₁，D₂，D₃，D₄，现给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（ ）
①D₁⊂D₂ ②D₁∪D₃=D₂∪D₄   ③D₄⊂D₃   ④D₁∩D₃=D₂∩D₄．
A．①③
B．①②
C．②④
D．③④

10. 难度：中等

记函数f（x）=3+x²sinx在区间[-2，2]上的最大值为M，最小值为m，那么M+m的值为（ ）
A．0
B．3
C．6
D．8

二、填空题

11. 难度：中等

不等式＞x+1的解集是    ．

12. 难度：中等

在△ABC中，A，B，C成等差数列，则=    ．

13. 难度：中等

已知（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ=a+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，且a+a₁+a₂+…+a_n=126，那么的展开式中的常数项为    ．

14. 难度：中等

在锐角△ABC中，边AB为最长边，且sinA•cosB=，则cosA•sinB的最大值是    ．

15. 难度：中等

定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函数，给出下列关于f（x）的判断：
①f（x）是周期函数；
②f（x）关于直线x=1对称；
③f（x）在[0，1]上是增函数；
④f（x）在[1，2]上是减函数；
⑤f（2）=f（0），
其中正确的序号是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，向量=（2a+c，b），=（cosB，cosC），且•=0．
（1）求∠B的大小；
（2）若b=，求a+c的最大值．

17. 难度：中等

如图，在底面为菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=a，点E在PD上，且PE：ED=2：1．
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）求面EAC与面DAC所成的二面角的大小．

18. 难度：中等

设数列{a_n}，{b_n}满足a₁=b₁=6，a₂=b₂=4，a₃=b₃=3，且数列{a_n+1-a_n}（n∈N⁺）是等差数列，数列{b_n-2}（n∈N₊）是等比数列．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）是否存在k∈N⁺，使，若存在，求出k，若不存在，说明理由．

19. 难度：中等

已知，
（1）若函数在区间[1，+∞）上是增函数，求实数m的取值范围．
（2）若m≤2，求函数g（x）=f（x）-lnx在区间上的最小值．

20. 难度：中等

平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0），B（0，-2），点C满足，其中α，β∈R，且α-2β=1．
（Ⅰ）求点C的轨迹方程；
（Ⅱ）设点C的轨迹与双曲线交于两点M，N，且以MN为直径的圆过原点，求证：为定值．

21. 难度：中等

由原点O向三次曲线y=x³-3ax²+bx （a≠0）引切线，切于不同于点O的点P₁（x₁，y₁），再由P₁引此曲线的切线，切于不同于P₁的点P₂（x₂，y₂），如此继续地作下去，…，得到点列{ P _n（x _n，y _n）}，试回答下列问题：
（1）求x₁；
（2）求x_n与x_n+1的关系；
（3）若a＞0，求证：当n为正偶数时，x_n＜a；当n为正奇数时，x_n＞a．