Question

在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，向量=（2a+c，b），=（cosB，cosC），且•=0．
（1）求∠B的大小；
（2）若b=，求a+c的最大值．

Answer

（1）由两向量的坐标及两向量的数量积为0，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，再利用正弦定理化简后，利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，根据A与B都为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的值；
（2）由b与cosB的值，利用余弦定理列出关系式，整理后利用基本不等式即可求出a+c的最大值．
【解析】
（1）∵=（2a+c，b），=（cosB，cosC），•=0，
∴（2a+c）cosB+bcosC=0，
利用正弦定理化简得：（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0，
整理得：2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosB+sin（B+C）=2sinAcosB+sinA=sinA（2cosB+1）=0，
∵A与B都为三角形的内角，∴sinA≠0，cosB=-，
则B=；
（2）∵b=，cosB=-，
∴由余弦定理得：3=a2+c2-2ac×（-）=（a+c）2-ac，
∴（a+c）2=3+ac≤3+（）2，
∴（a+c）2≤4，即a+c≤2，
则当且仅当a=c时，a+c的最大值为2．