Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₁=1，点（n，S_n）在曲线C上，C和直线x-y+1=0交于A，B两点，|AB|=，那么这个数列的通项公式是（ ）
A．a_n=2n-1
B．a_n=3n-2
C．a_n=4n-3
D．a_n=5n-4

Answer

根据等差数列的性质，可以设出sn=an2+bn，因为其点（1，1），求出a与b的关系，联立直线与曲线C的方程可得一个方程，与A，B点横坐标与方程系数的关系，根据，|AB|=，求出a的值，求出Sn，可以求出这个数列的通项公式an；
【解析】
等差数列{an}的前n项和为Sn，
不妨设sn=an2+bn，A，B两点横坐标为x1，x2，
过点（1，1），
所以1=a+b，曲线C应为y=ax2+（1-a）x…①
直线：x-y+1=0…②交于A，B两点，|AB|=，
联立①②可得，ax2-ax-1=0，
x1+x2=1，x1，•x2=-，
因为|AB|=|x1-x2|===，
∴a=2，b=-1，
当n≥2时，an=sn-sn-1=2n2-n-（-2n2-5n+3）=4n-3，
当n=1，可得s1=1，
这个数列的通项公式：an=4n-3；
故选C；