Question

由原点O向三次曲线y=x³-3ax²+bx （a≠0）引切线，切于不同于点O的点P₁（x₁，y₁），再由P₁引此曲线的切线，切于不同于P₁的点P₂（x₂，y₂），如此继续地作下去，…，得到点列{ P _n（x _n，y _n）}，试回答下列问题：
（1）求x₁；
（2）求x_n与x_n+1的关系；
（3）若a＞0，求证：当n为正偶数时，x_n＜a；当n为正奇数时，x_n＞a．

Answer

（1）向三次曲线y=x3-3ax2+bx （a≠0），对其进行求导，求出切线l1的方程，根据其过点（0，0），可以求出x1；
（2）根据导数与直线的斜率的关系，再求点Pn+1（xn+1，yn+1）的切线ln+1的方程，这个切线方程过点Pn（xn，yn），代入可得xn与xn+1的关系；
（3）根据（2）已知的xn与xn+1的关系，递推关系，将其凑为等比数列，其实n分为奇偶，从而进行证明；
【解析】
（1）由y=x3-3ax2+bx…①，得y′=3x2-6ax+b
过曲线①上的点P（x1，y1）的切线l1的方程是
y-（-3a+bx1）=（3-6ax1+b）（x-x1），（x1≠0）
由它过原点，有-+3a-bx1=-x1（3-6ax1+b），
2=3a（x1≠0），∴x1=；
（2）过曲线①上点Pn+1（xn+1，yn+1）的切线ln+1的方程是，
y-（-3a+bxn+1）=（3-6axn+1+b）（x-xn+1），
由ln+1过曲线①上点Pn（xn，yn），有
-3a+bxn-（-3a+bxn+1）=（3-6axn+1+b）（xn-xn+1），
∵xn-xn+1≠0，以xn-xn+1除上式，得
+xnxn+1+-3a（xn+xn+1）+b=3x2n+1-6axn+1+b，
+xnxn+1-2-3a（xn-xn+1）=0，以xn-xn+1除之，得
xn+2xn+1-3a=0，
（3）由（2）得，
∴．
故数列{x n-a}是以x 1-a=为首项，公比为-的等比数列，
∴，
∴．
∵a＞0，
∴当n为正偶数时，；
当n为正奇数时，．