2011-2012学年江苏省南京市六合高级中学高三（上）数学寒假作业（5）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

圆2x²+2y²=1与直线xsinθ+y-1=0（θ∈R，θ≠+kπ，k∈Z）的位置关系是    ．

2. 难度：中等

已知双曲线的一条准线方程为，则a等于     ，该双曲线的离心率为     ．

3. 难度：中等

当θ是第四象限时，两直线和的位置关系是    （平行、垂直、相交但不垂直、重合）．

4. 难度：中等

抛物线x²=4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为    ．

5. 难度：中等

设直线l过点（-2，0）且与圆x²+y²=1相切，则l的斜率为    ．

6. 难度：中等

将直线x+2y-2=0绕原点逆时针旋转90°所得直线方程是    ．

7. 难度：中等

圆心为（1，2）且与直线5x-12y-7=0相切的圆的方程为     ．

8. 难度：中等

设直线l：2x+y+2=0关于原点对称的直线为l'，若l′与椭圆的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为的点P的个数为    ．

9. 难度：中等

直线y=x+3与曲线=1的公共点个数为    ．

10. 难度：中等

已知x，y满足（x-y-1）（x+y）≤0，则（x+1）²+（y+1）²的最小值是    ．

11. 难度：中等

已知P是椭圆上的点，Q、R分别是圆和圆上的点，则|PQ|+|PR|的最小值是    ．

12. 难度：中等

如图把椭圆的长轴AB分成8分，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P₁，P₂，…P₇七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P₁F|+|P₂F|+…+|P₇F|=    ．

13. 难度：中等

光线自点M（2，3）射到N（1，0）后被x轴反射，则反射光线所在的直线方程为    ．

14. 难度：中等

已知圆在斜二侧画法下得到的曲线是椭圆，则该椭圆的离心率是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中点．求证：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

16. 难度：中等

在多面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，三角形CDE是等边三角形，棱EF∥BC且EF=BC．
（I）证明：FO∥平面CDE；
（Ⅱ）设BC=CD，证明EO⊥平面CDF．

17. 难度：中等

如图，多面体ABCDEFG中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1．
（1）证明四边形ABED是正方形；
（2）判断点B，C，F，G是否四点共面，并说明为什么？
（3）连接CF，BG，BD，求证：CF⊥平面BDG．

18. 难度：中等

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB₁，AC₁⊥平面A₁BD，D为AC的中点．
（1）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求证：B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；
（3）设E是CC₁上一点，试确定E的位置使平面A₁BD⊥平面BDE，并说明理由．

19. 难度：中等

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=AA₁，M为CC₁的中点．
（Ⅰ）求证：BM⊥AB₁；
（Ⅱ）试在棱AC上确定一点N，使得AB₁∥平面BMN．

20. 难度：中等

如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为DD₁、DB的中点．
（1）求证：EF∥平面ABC₁D₁；
（2）求证：EF⊥B₁C；
（3）求三棱锥的体积．

21. 难度：中等

（1）自圆O外一点P引切线与圆切于点A，M为PA中点，过M引割线交圆于B，C两点．求证：∠MCP=∠MPB．
（2）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD的四个顶点A（0，1），B（2，1），C（2，3），D（0，2），经矩阵表示的变换作用后，四边形ABCD变为四边形A₁B₁C₁D₁，问：四边形ABCD与四边形A₁B₁C₁D₁的面积是否相等？试证明你的结论．
（3）已知A是曲线ρ=12sinθ上的动点，B是曲线上的动点，试求AB的最大值．
（4）设p是△ABC内的一点，x，y，z是p到三边a，b，c的距离，R是△ABC外接圆的半径，证明．

22. 难度：中等

质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别刻着数字1，2，3，4，将4个这样的玩具同时抛掷于桌面上．
（1）求与桌面接触的4个面上的4个数的乘积不能被4整除的概率；
（2）设ξ为与桌面接触的4个面上数字中偶数的个数，求ξ的分歧布列及期望Eξ．

23. 难度：中等

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点F、T、M、P满足，，．
（Ⅰ）当t变化时，求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若过点F的直线交曲线C于A，B两点，求证：直线TA、TF、TB的斜率依次成等差数列．