Question

（1）自圆O外一点P引切线与圆切于点A，M为PA中点，过M引割线交圆于B，C两点．求证：∠MCP=∠MPB．
（2）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD的四个顶点A（0，1），B（2，1），C（2，3），D（0，2），经矩阵表示的变换作用后，四边形ABCD变为四边形A₁B₁C₁D₁，问：四边形ABCD与四边形A₁B₁C₁D₁的面积是否相等？试证明你的结论．
（3）已知A是曲线ρ=12sinθ上的动点，B是曲线上的动点，试求AB的最大值．
（4）设p是△ABC内的一点，x，y，z是p到三边a，b，c的距离，R是△ABC外接圆的半径，证明．

Answer

（1）根据切割线定理，得到AM是MB和MC的比例中项，结合AM=MP，∠BMP=∠PMC，得△BMP∽△PMC，从而得到对应角相等，命题得证；
（2）四个顶点A（0，1），B（2，1），C（2，3），D（0，2），经矩阵表示的变换作用后，四边形ABCD变为四边形A1B1C1D1仍为梯形，且上、下底及高都不变，故面积相等；
（3）把极坐标方程化为直角坐标方程，可得两曲线分别表示一个圆，求出两圆的圆心距，可得两圆相交，故线段AB长的最大值等于圆心距加上两个圆的半径；
（4）题中连接P与三角形的三个顶点，分成的三个小三角形面积的和等于大三角形，可得ax+by+cz=2S=，再利用柯西不等式即可得证．
（1）证明：∵AM切圆于点A，∴AM2=MB•MC
又∵M为PA中点，AM=MP，∴MP2=MB•MC，∴
∵∠BMP=∠PMC，∴△BMP∽△PMC，∴∠MCP=∠MPB．
（2）四个顶点A（0，1），B（2，1），C（2，3），D（0，2），经矩阵表示的变换作用后，四边形ABCD变为四边形A1B1C1D1顶点坐标为A1（0，1），B1（2，2k+1），C1（2，2k+3），D1（0，2），四边形A1B1C1D1仍为梯形，且上、下底及高都不变，故面积相等；
（3）曲线ρ=12sinθ化为直角坐标方程为 x2+（y-6）2=36，表示以（0，6）为圆心，以6为半径的圆．
曲线化为直角坐标方程为 x2+y2=6x+6y，即 （x-3）2+（y-3）2=36，
表示以（3，3 ）为圆心，以6为半径的圆．
两圆的圆心距的平方为 （0-3 ）2+（6-3）2 =36，故两圆相交，线段AB长的最大值为6+r+r′=18．
（4）连接P与三角形的三个顶点，分成的三个小三角形面积的和等于大三角形，即（ax+by+cz）=S，∴ax+by+cz=2S=
∴=×+×+×
≤×[++]
=×（）=×=≤
即