2011-2012学年四川省成都市新都区香城中学高二（上）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

动点P到点M（1，0）及点N（3，0）的距离之差为2，则点P的轨迹是（ ）
A．双曲线
B．双曲线的一支
C．两条射线
D．一条射线

2. 难度：中等

已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点距离为（ ）
A．9
B．7
C．5
D．3

3. 难度：中等

抛物线y²=12x上与焦点的距离等于8的点的横坐标是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

4. 难度：中等

已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）
A．25π
B．50π
C．125π
D．都不对

6. 难度：中等

以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x²+y²-2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是（ ）
A．y=3x²或y=-3x²
B．y=3x²
C．y²=-9x或y=3x²
D．y=-3x²或y²=9

7. 难度：中等

一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形OA′B′C′的面积为，则原梯形的面积为（ ）

A．2
B．
C．2
D．4

8. 难度：中等

椭圆上一点P到直线x+y+10=0的距离最小值为（ ）
A．
B．3
C．
D．

9. 难度：中等

过原点的直线l与双曲线y²-x²=1有两个交点，则直线l的斜率的取值范围为（ ）
A．（-1，1）
B．（-∞，-1）∪（1，+∞）
C．（-1，0）∪（0，1）
D．

10. 难度：中等

（理）已知过抛物线y²=6x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是（ ）
A．或
B．或
C．或
D．

11. 难度：中等

如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为．则该几何体的俯视图可以是（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

如图，圆F：（x-1）²+y²=1和抛物线，过F的直线与抛物线和圆依次交于A、B、C、D四点，求|AB|•|CD|的值是（ ）

A．1
B．2
C．3
D．无法确定

13. 难度：中等

已知P是椭圆+=1上的一点，F₁、F₂是该椭圆的两个焦点，若△PF₁F₂的内切圆半径为，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．0

二、填空题

14. 难度：中等

抛物线2x²+y=0的焦点坐标是    ．

15. 难度：中等

一个圆锥的侧面展开是半径为R的圆的一半，则它的体积为    ．

16. 难度：中等

（文）若方程=1表示椭圆，则k的取值范围是    ．

17. 难度：中等

（理）已知以F₁（-2，0），F₂（2，0）为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为    ．

18. 难度：中等

（文）椭圆上存在一点P，使得点P到两焦点距离比为1：2，则椭圆离心率取值范围为    ．

19. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠CAB=∠CBA=30°，AC、BC边上的高分别为BD、AE，则以A、B为焦点，且过D、E的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为     ．

三、解答题

20. 难度：中等

（1）焦点在y轴上的椭圆的一个顶点为A（2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．
（2）已知双曲线的一条渐近线方程是x+2y=0，并经过点（2，2），求此双曲线的标准方程．

21. 难度：中等

经过双曲线的左焦点F₁作倾斜角为的弦AB．
求：（1）线段AB的长；  
（2）设F₂为右焦点，求△F₂AB的面积．

22. 难度：中等

已知抛物线y²=4x，焦点为F，顶点为O，点P（m，n）在抛物线上移动，Q是OP的中点，M是FQ的中点．
（1）求点M的轨迹方程．
（2）求的取值范围．

23. 难度：中等

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，A，B，C为抛物线上三点．若，且．
（1）求抛物线方程；
（2）（文）若OA⊥OB，直线AB与x轴交于一点（m，0），求m．
（2）（理）若以为AB为直径的圆经过坐标原点O，则求证直线AB经过一定点，并求出定点坐标．

24. 难度：中等

已知椭圆E：及点M（1，1）．
（1）直线l过点M与椭圆E相交于A，B两点，求当点M为弦AB中点时的直线l方程；
（2）直线l过点M与椭圆E相交于A，B两点，求弦AB的中点轨迹；
（3）（文）斜率为2的直线l与椭圆E相交于A，B两点，求弦AB的中点轨迹．
（3）（理）若椭圆E上存在两点A，B关于直线l：y=2x+m对称，求m的取值范围．

25. 难度：中等

已知F₁，F₂是椭圆的左、右焦点，点P（1，）在椭圆上，线段PF₁与y轴的交点M满足．
（1）求椭圆的标准方程；   
（2）（文）过F₂的直线l交椭圆于A，B两点，且，求直线l方程．
（2）（理）过F₁作不与x轴重合的直线l，l与圆x²+y²=a²+b²相交于A、B．并与椭圆相交于C、D．当，且时，求△F₂CD的面积S的取值范围．