Question

如图，圆F：（x-1）²+y²=1和抛物线，过F的直线与抛物线和圆依次交于A、B、C、D四点，求|AB|•|CD|的值是（ ）

A．1
B．2
C．3
D．无法确定

Answer

可分两类讨论，若直线的斜率不存在，则直线方程为x=1，代入抛物线方程和圆的方程，可直接得到ABCD四个点的坐标，从而|AB||CD|=1．
若直线的斜率存在，设为直线方程为y=k（x-1），不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），过AB分别作抛物线准线的垂线，由抛物线的定义，|AF|=x1+1，|DF|=x2+1，把直线方程与抛物线方程联立，消去y可得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，利用韦达定理及|AB|=|AF|-|BF|=x1，|CD|=|DF|-|CF|=x2，可求|AB||CD|的值．
【解析】
若直线的斜率不存在，则直线方程为x=1，代入抛物线方程和圆的方程，可直接得到ABCD四个点的坐标为（1，2）（1，1）（1，-1）（1，-2），所以|AB|=1，|CD|=1，从而|AB||CD|=1．
若直线的斜率存在，设为k，因为直线过抛物线的焦点（1，0），则直线方程为y=k（x-1），
不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），过AB分别作抛物线准线的垂线，由抛物线的定义，|AF|=x1+1，|DF|=x2+1，
把直线方程与抛物线方程联立，消去y可得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，由韦达定理有 x1x2=1
而抛物线的焦点F同时是已知圆的圆心，所以|BF|=|CF|=R=1
从而有|AB|=|AF|-|BF|=x1，|CD|=|DF|-|CF|=x2．
所以|AB||CD|=x1x2=1
故选A．