2011-2012学年河北省衡水中学高一（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x∈Z||x-1|≤1}，B={y|y=2^x}，则集合A∩B的元素个数（ ）
A．0
B．2
C．5
D．8

2. 难度：中等

已知定义在R上的函数f（x）关于直线x=1对称，若f（x）=x（1-x）（x≥1），则f（-2）=（ ）
A．0
B．-2
C．-6
D．-12

3. 难度：中等

如果函数f（x）=x²+2（a-1）x+2在（-∞，4]上是减函数，那么实数a取值范围是（ ）
A．a≤-3
B．a≥-3
C．a≤5
D．a≥5

4. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的体积是（ ）
A．112cm³
B．cm³
C．96cm³
D．224cm³

5. 难度：中等

若a、b是任意实数，且a＞b，则下列不等式成立的是（ ）
A．a²＞b²
B．
C．lg（a-b）＞0
D．

6. 难度：中等

过点（2，1）且在x轴、y轴截距相等的直线方程为（ ）
A．x+y-3=0
B．x+y-3=0或x-y-1=0
C．x+y-3=0或
D．x-y-1=0或

7. 难度：中等

已知点A（-3，-4），B（6，3）到直线l：ax+y+1=0的距离相等，则实数a的值等于（ ）
A．
B．-
C．-或-
D．或

8. 难度：中等

在正三棱锥A-BCD中，E，F分别是AB，BC的中点，EF⊥DE且BC=，若此正三棱锥的四个顶点都在球O的面上，则球O的体积是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

如果实数x、y满足x²+y²-6x+8=0，那么最大值是（ ）
A．
B．
C．1
D．

10. 难度：中等

圆与圆的公切线有几条（ ）
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条

11. 难度：中等

函数的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知直线（θ是非零常数）与圆x²+y²=100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ）
A．60条
B．66条
C．72条
D．78条

二、填空题

13. 难度：中等

若直线mx-y+5=0与直线（2m-1）x+my-6=0互相垂直，则实数m=    ．

14. 难度：中等

已知点p（x，y）是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA、PB是圆C：x²+y²-2y=0的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为    ．

15. 难度：中等

如果直线y=kx+1与圆x²+y²+kx+my-4=0交于M、N两点，且M、N关于直线x+y-1=0对称，则k-m的值为    ．

16. 难度：中等

函数f（x）的定义域为A，若x₁，x₂∈A且f（x₁）=f（x₂）时总有x₁=x₂，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单函数．下列命题：
①函数f（x）=x²（x∈R）是单函数；
②若f（x）为单函数，x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，则f（x₁）≠f（x₂）；
③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象；
④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数．
其中的真命题是    ．（写出所有真命题的编号）

三、解答题

17. 难度：中等

已知不等式x²-3x+t＜0的解集为{x|1＜x＜m，x∈R}
（1）求t，m的值；
（2）若函数f（x）=-x²+ax+4在区间（-∞，1]上递增，求关于x的不等式log_a（-mx²+3x+2-t）＜0的解集．

18. 难度：中等

如图（1），边长为2的正方形ABEF中，D，C分别为EF，AF上的点，且ED=CF，现沿DC把△CDF剪切、拼接成如图（2）的图形，再将△BEC，△CDF，△ABD沿BC，CD，BD折起，使E，F，A三点重合于点A′．
（1）求证：BA′⊥CD；
（2）求四面体B-A′CD体积的最大值．

19. 难度：中等

已知△ABC的顶点A（0，1），AB边上的中线CD所在的直线方程为2x-2y-1=0，AC边上的高BH所在直线的方程为y=0．
（1）求△ABC的顶点B，C的坐标；
（2）若圆M经过A，B且与直线x-y+3=0相切于点P（-3，0），求圆M的方程．

20. 难度：中等

已知圆C的圆心为原点O，且与直线相切．
（1）求圆C的方程；
（2）点P在直线x=8上，过P点引圆C的两条切线PA，PB，切点为A，B，求证：直线AB恒过定点．

21. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PD=AD，∠DAB=60°，PD⊥底面ABCD．
（1）求证AC⊥PB；
（2）求PA与平面PBC所成角的正弦值．

22. 难度：中等

过圆C：（x-6）²+（y-4）²=8上一点A（4，6）作圆的一条动弦AB，点P为弦AB的中点．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设点P关于x=1的对称点为E，关于y=x的对称点为F，求|EF|的取值范围．