Question

已知△ABC的顶点A（0，1），AB边上的中线CD所在的直线方程为2x-2y-1=0，AC边上的高BH所在直线的方程为y=0．
（1）求△ABC的顶点B，C的坐标；
（2）若圆M经过A，B且与直线x-y+3=0相切于点P（-3，0），求圆M的方程．

Answer

（1）由AC边上的BH所在的直线方程为y=0，即为x轴，根据两直线垂直时满足的关系，得到AC所在直线应为y轴，即x=0，与中线CD所在的直线方程联立组成方程组，求出方程组的解集得到C的坐标，由B在x轴上，设出B的坐标为（b，0），利用中点坐标公式表示出AB的中点坐标，代入中线CD所在直线的方程，求出b的值，确定出B的坐标；
（2）根据垂径定理得到弦AB的垂直平分线过圆心M，根据AB的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为-1求出弦AB垂直平分线的斜率，再由AB中点坐标，写出弦AB垂直平分线的方程，又圆M与直线x-y+3=0相切，由切点P以及求出的斜率写出此直线的方程，与弦AB垂直平分线的方程联立组成方程组，求出方程组的解可得出圆心M的坐标，再由A和M的坐标，利用两点间的距离公式求出|AM|的长，即为圆M的半径，由圆心和半径写出圆M的标准方程，化简后即可得到圆M的方程．
【解析】
（1）∵AC边上的高BH所在直线的方程为y=0，即为x轴，
∴直线AC的方程为y轴，即为直线x=0，又直线CD：2x-2y-1=0，
联立得：，解得：，
∴，
设B（b，0），又A（0，1），
∴AB的中点，
把D坐标代入方程2x-2y-1=0得：b-1-1=0，解得：b=2，
∴B（2，0）；（4分）
（2）由A（0，1），B（2，0）可得：
线段AB中点坐标为（1，），kAB==-，
∴弦AB垂直平分线的斜率为2，
则圆M的弦AB的中垂线方程为y-=2（x-1），即4x-2y-3=0，①
又圆M与x-y+3=0相切，切点为（-3，0），且x-y+3=0的斜率为1，
∴圆心所在直线方程的斜率为-1，
则圆心所在直线为y-0=-（x+3），即y+x+3=0，②
联立①②，解得：，
∴，（8分）
∴半径，
所以所求圆方程为（x+）2+（y+）2=，即x2+y2+x+5y-6=0．  （12分）