2002-2003学年北京市北大附中高一（上）期末数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合P={（x，y）|y=x²}，集合Q={（x，y）|y=x}则P∩Q等于（ ）
A．{（0，0）}
B．{（1，1）}
C．{（0，0），（1，1）}
D．{（0，1）}

2. 难度：中等

命题“若ab=0，则a=0或b=0”的逆否命题是（ ）
A．若a=0或b=0，则ab=0
B．若ab≠0，则a≠0或b≠0
C．若a≠0且b≠0，则ab≠0
D．若a≠0或b≠0，则ab≠0

3. 难度：中等

函数y=的定义域是（ ）
A．[-3，1）
B．（2，3）
C．（3，+∞）
D．（1，2）

4. 难度：中等

设1＜a＜b＜c则下列不等式中正确的是（ ）
A．c^a＜b^a
B．a^c＜a^b
C．log_cb＜log_ca
D．log_ca＜log_ba

5. 难度：中等

已知等差数列{a_n}满足a₁+a₂+…+a₉₁=0，则有（ ）
A．a₃+a₈₉=0
B．a₂+a₉₀＜0
C．a₁+a₉₁＞0
D．a₄₆=46

6. 难度：中等

若指数函数满足f（-2）=4，则有f^-1（x）的解析式是（ ）
A．f^-1（x）=log₂
B．f^-1（x）=log₄
C．f^-1（x）=-log₂
D．f^-1（x）=-log₄

7. 难度：中等

某人从2011年起，每年1月1日到银行新存入a元（一年定期），若年利率为r保持不变，每年到期存款（本息和）自动转为新的一年定期，到2015年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数为（单位为元）（ ）
A．a（1+r）⁵
B．[（1+r）⁵-（1+r）]
C．a（1+r）⁶
D．[（1+r）⁶-（1+r）]

8. 难度：中等

设f（x）、g（x）都是单调函数，有如下四个命题中，正确的命题是（ ）
①若f（x）单调递增，g（x）单调递增，则f（x）-g（x）单调递增；
②若f（x）单调递增，g（x）单调递减，则f（x）-g（x）单调递增；
③若f（x）单调递减，g（x）单调递增，则f（x）-g（x）单调递减；
④若f（x）单调递减，g（x）单调递减，则f（x）-g（x）单调递减．
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④

9. 难度：中等

方程x²+x=（ ）
A．无实根
B．有异号两根
C．仅有一负根
D．仅有一正根

10. 难度：中等

若函数f（x ）的图象与函数g（x）=（）^x的图象关于直线y=x对称，则f（2x-x²）的单调递减区间是（ ）
A．[2，+∞）
B．（0，1]
C．[1，2）
D．（-∞，0）

11. 难度：中等

在各项都不等于零的等差数列{a_n}中，若m＞1，且a_m-1+a_m+1-a_m²=0，S_2m-1=38，则m等于（ ）
A．38
B．20
C．10
D．9

12. 难度：中等

各项都是正数的等比数列{a_n}中，a₂，a₃，a₁成等差数列，则的值是（ ）
A．
B．
C．
D．或

二、填空题

13. 难度：中等

2㏒₅25+3㏒₂64-lg（㏒₃3¹⁰）=    ．

14. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和S_n=-n²+1，那么此数列的通项公式a _n=    ．

15. 难度：中等

已知-9，a₁，a₂，-1四个实数成等差数列，-9，b₁，b₂，b₃，-1五个实数成等比数列，则b₂（a₂-a₁）的值等于     ．

16. 难度：中等

对于任意定义在R上的函数f（x ），若实数x满足f（x ）=x ，则称x是函数f（x ）的一个不动点，若函数f（x ）=ax²+（2a-3）x+1恰有一个不动点，则实数a的取值集合是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

求不等式组的解集．

18. 难度：中等

设{ a_n}为等比数列，{b_n}为等差数列，且b₁=0，c_n=a_n+b_n，若{ c_n}是1，1，2，…，求数列{ c_n}的前10项和．

19. 难度：中等

成等差数列的三个数x、y、z，其和为-3，且x+y，y+z，z+x 成等比数列，求此三数．

20. 难度：中等

行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离，在某种路面上，某种型号的汽车的刹车距离y（m）与汽车的车速x（m/s）满足二次函数关系：y=+（n为常数，且n∈N^*），我们做过两次实验，发现当x=20m/s时，刹车距离是y₁，且5＜y₁＜7，当x=35m/s时，刹车距离是y₂，且13＜y₂＜15
（1）求出n的值；
（2）要使刹车距离不超过18.4米，则行驶的最大速度应为多少？

21. 难度：中等

已知函数f（x）=㏒_ax（a＞0且a≠1），若数列2，f（a₁），f（a₂），…，f（a_n），2n+4（n∈N^*）成等差数列
（1）求数列{a _n}的通项a _n；
（2）令b _n=a_nf（a_n），当a＞1时，判断数列{b_n}的单调性并证明你的结论．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=2 ^x+1+（a∈R，且a≠0）
（1）当a=-1时，判断f（x）在R上是增函数还是减函数，并说明理由；
（2）判断f（x）奇偶性．