Question

已知函数f（x）=㏒_ax（a＞0且a≠1），若数列2，f（a₁），f（a₂），…，f（a_n），2n+4（n∈N^*）成等差数列
（1）求数列{a _n}的通项a _n；
（2）令b _n=a_nf（a_n），当a＞1时，判断数列{b_n}的单调性并证明你的结论．

Answer

（1）先弄清数列2，f（a1），f（a2），…，f（an），2n+4的项数，然后根据等差数列的通项公式求出d的值，从而求出数列{an}的通项；
（2）将an代入函数的解析式求出的bn通项公式，然后根据条件判定bn+1-bn的符号，从而得到数列{b n}的单调性．
（1）【解析】
∵数列2，f（a 1），f（a 2），…，f（a n），2n+4（n∈N*）成等差数列
∴2n+4=2+（n+1）d，∴d=2，
∴f（an）=2+2n=logaan，
∴an=a2n+2
（2）数列{b n}单调递增
证明：∵b n=anf（an），
∴bn=（2n+2）a2n+2，
则bn+1=（2n+4）a2n+4，
∴bn+1-bn=（2n+4）a2n+4-（2n+2）a2n+2=a2n+2[（2n+4）a2-（2n+2）]
∵a＞1
∴a2＞1
∴（2n+4）a2-（2n+2）＞（2n+4）-（2n+2）=2＞0
∴bn+1-bn＞0即数列{b n}单调递增．