Question

对于任意定义在R上的函数f（x ），若实数x满足f（x ）=x ，则称x是函数f（x ）的一个不动点，若函数f（x ）=ax²+（2a-3）x+1恰有一个不动点，则实数a的取值集合是    ．

Answer

不动点实际上就是方程f（x）=x的实数根．二次函数f（x ）=ax2+（2a-3）x+1恰有一个不动点，是指方程x=ax2+（2a-3）x+1恰有两个相等的实根，即方程ax2+（2a-4）x+1=0恰有两个相等的实根，可以根据根的判别式△=0解答即可．
【解析】
根据题意，得
x=ax2+（2a-3）x+1恰有两个相等的实根，
即方程ax2+（2a-4）x+1=0恰有两个相等的实根，
∴当a≠0时
△=（2a-4）2-4a=0，
解之得：a=1或a=4；
当a=0时，显然也符合题
综上所述，实数a的取值集合是{0，1，4}
故答案为：{0，1，4}