2008-2009学年湖北省宜昌一中、枝江一中、当阳一中三校联考高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列命题中的真命题是（ ）
A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
B．若|a|＞b，则a²＞b²
C．若a＞b，则a²＞b²
D．若a＞|b|，则a²＞b²

2. 难度：中等

抛物线x=-2y²的准线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

一条直线与平面成45°角，则该平面内与此直线成30°角的直线的条数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

4. 难度：中等

“平面α内的两条直线l、m都平行于平面β”是“α∥β”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

5. 难度：中等

如果双曲线上一点P到双曲线右焦点的距离是，那么点P到左焦点的距离是（ ）
A．
B．
C．或
D．

6. 难度：中等

若第一象限内的点A（x、y）落在经过点（6，-2）且具有方向向量的直线上，则有（ ）
A．最大值
B．最大值1
C．最小值
D．最小值1

7. 难度：中等

空间四边形ABCD中，各边与对角线均相等，则AB与平面BCD成的角是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

椭圆的焦点为F₁、F₂，椭圆上存在点P，使∠F₁PF₂=120°则椭圆的离心率e的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．|x+y-a-b|＜h，|x-y-a+b|＜h
B．|x+y-a-b|＜h，|x-y+a-b|＜h
C．|x+y+a+b|＜h，|x-y-a+b|＜h
D．

10. 难度：中等

直线y=x+3与曲线的交点个数为（ ）
A．4个
B．1个
C．2个
D．3个

二、填空题

11. 难度：中等

正方体ABCD-A'B'C'D'中，棱长为2，则异面直线A₁B₁与BC₁的距离是    ．

12. 难度：中等

在直角坐标系中，到点（1，0）与点（-1，0）的距离的差是1的曲线方程    ．

三、解答题

13. 难度：中等

在R上定义运算⊗：x⊗y=x（1-y），若不等式（x-a）⊗（x+a）＜1对一切实数x都成立．求实数a的取值范围．

四、填空题

14. 难度：中等

点P（x，y）是曲线x²-y²=1（x＞0）上的点，则的取值范围    ．

15. 难度：中等

命题：①过点P（2，1）在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是x-y=1；②过点P（2，1）作圆x²+y²=4的切线，则切线方程是3x+4y-10=0；③动点P到定点（1，2）的距离与到定直线x-y+1=0的距离相等点的轨迹是一条抛物线；④若不等式|x-2|+|x-a|≥a在R上恒成立，则a的最大值为1，其中，正确命题的序号是    ．

五、解答题

16. 难度：中等

已知⊙C：（x-3）²+（y-3）²=4，直线l：y=kx+1
（1）若l与⊙C相交，求k的取值范围；
（2）若l与⊙C交于A、B两点，且|AB|=2，求l的方程．

17. 难度：中等

在正方体ABCD-A'B'C'D'中，棱长为2
（1）求平面A'BC'与平面ABCD成的二面角（锐角）的大小．
（2）求直线AC到平面A'BC'的距离．

18. 难度：中等

已知椭圆与x轴交于A、B两点，焦点为F₁、F₂．
（1）求以F₁、F₂为顶点，以A、B为焦点的双曲线E的方程；
（2）M为双曲线E上一点，y轴上一点P ，求|MP|取最小值时M点的坐标．

19. 难度：中等

如图，D是△ABC所在平面外一点，DC⊥AB，E、F分别是CD、BD的中点，且AD=10，CD=BC=6，AB=2．
（1）求证：EF∥平面ABC；
（2）求异面直线AD与BC所成的角．

20. 难度：中等

宜昌英博啤酒厂生产淡色和深色两种啤酒．粮食、啤酒花和麦芽是三种有约束的资源，每天分别可以提供480斤，160两和1320斤，假设生产一桶淡色啤酒需要粮食5斤，啤酒花4两，麦芽20斤，生产一桶深色啤酒需要粮食15斤，啤酒花4两，麦芽40斤，售出每桶淡色啤酒可获利15元，每桶深色啤酒可获利25元，假设每天生产出的啤酒都可以售完，问每天生产淡色和深色两种啤酒各多少桶时，工厂的利润最大．

21. 难度：中等

如图，在Rt△PAQ中，点P的坐标为（-8，0），点A在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，∠PAQ=90°，在AQ的延长线上取一点M，使|AQ|=|MQ|．
（1）当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹E；
（2）直线l：y=kx-1与轨迹E交于B、C两点，已知点F的坐标为（1，0），当∠BFC为钝角时，求k的取值范围．