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如图,在Rt△PAQ中,点P的坐标为(-8,0),点A在y轴上,点Q在x轴的正半...

如图,在Rt△PAQ中,点P的坐标为(-8,0),点A在y轴上,点Q在x轴的正半轴上,∠PAQ=90°,在AQ的延长线上取一点M,使|AQ|=|MQ|.
(1)当点A在y轴上移动时,求动点M的轨迹E;
(2)直线l:y=kx-1与轨迹E交于B、C两点,已知点F的坐标为(1,0),当∠BFC为钝角时,求k的取值范围.

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(1)设A(0,b),Q(a,0),M(x,y)又M在AQ的延长线且|AQ|=|QM|,得到,得到a,b与x,y的关系, 又△PAQ为直角三角形,得到b2=8a,将a,b用x,y代替即可. (2)将直线方程与抛物线方程联立,利用韦达定理得到,将∠BFC为钝角转化为两向量的数量积小于0但不为-1,列出关于k的不等式,求出k的范围. 【解析】 (1)设A(0,b),Q(a,0),M(x,y) Q在x轴正半轴上,∴a>0 又M在AQ的延长线且|AQ|=|QM| ∴…(2分) 即(a,-b)=(x-a,y) ∴…(4分) 又△PAQ为直角三角形 ∴b2=8a ∴y2=4x(x>0)…(6分) 点M的轨迹E是焦点为(1,0),顶点在原点的抛物线不包括顶点(0,0)…(8分) (2)设B(x1,y1),C(x2,y2) 由得 k2x2-(2k+4)x+1=0 所以 ∵l与E有两个交点 ∴得k>-1且k≠0①…(8分) ∵∠BFC为钝角 ∴ 即(k2+1)x1x2-(1+k)(x1+x2)+2<0 ∴ 得 k2-6k-3<0 解得  ②…(10分) 当、反向共线时,k=1   ③…(12分) 综合①②③得,k的取值范围:…(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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