2009-2010学年江苏省淮安市清江中学高二（上）期末数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知（z-2）i=1+i（i为虚数单位），则|z|=    ．

2. 难度：中等

命题“在△ABC中，若∠C=90°，则△ABC是直角三角形”的否命题 为：“在△ABC中    ”．

3. 难度：中等

过点A（1，1）的圆x²+y²=2的切线方程为    ．

4. 难度：中等

若抛物线y²=2px的焦点与双曲线-y²=1的右焦点重合，则实数p=    ．

5. 难度：中等

i为虚数单位，i+2i²+3i³+…+8i⁸+9i⁹=    ．

6. 难度：中等

已知函数y=f （x），x∈[0，2π]的导函数y=f'（x）的图象，如图所示，则y=f （x） 的单调增区间为     ．

7. 难度：中等

a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a-1）y=a-7平行且不重合的    条件．

8. 难度：中等

光线沿（y≥0）被x轴反射后，与以A（2，2）为圆心的圆相切，则该圆的方程为    ．

9. 难度：中等

设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为    ．

10. 难度：中等

已知P为抛物线y²=4x的焦点，过P的直线l与抛物线交与A、B两点，若点Q在直线l上，且满足AP•QB=AQ•PB，则点Q总在定直线x=-1上．试猜测如果点P为椭圆的左焦点，过P的直线l与椭圆交与A、B两点，点Q在直线l上，且满足AP•QB=AQ•PB，则点Q总在定直线    上．

11. 难度：中等

已知方程x²-8x+6lnx-m=0有三个不同的实数解，则实数m范围为    ．

12. 难度：中等

P是椭圆上一点，F₁、F₂是椭圆的左、右焦点，|F₁F₂|=2c，过P作直线l：的垂线，垂足为Q，若PQF₁F₂是平行四边形，则椭圆的离心率取值范围是_    ．

13. 难度：中等

下面结论错误 的序号是    ．
①比较2ⁿ与2（n+1），n∈N^*的大小时，根据n=1，2，3时，2＜4，4＜6，8=8，可得2ⁿ≤2（n+1）对一切n∈N^*成立；
②由“c=a”（a，b，c∈R）类比可得“”；
③复数z满足，则|z-2+i|的最小值为．

14. 难度：中等

已知定义在R上的函数f（x）可导且导函数f′（x）＜1，又f（3）=4，则满足不等式f（x+1）＜x+2的实数x的取值范围是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知：复数z满足（z-2）i=a+i（a∈R）．
（1）求复数z；
（2）a为何值时，复数z²对应的点在第一象限．

16. 难度：中等

已知m∈R，设命题p：在平面直角坐标系xOy中，方程表示双曲线；命题q：关于x的方程x²-3mx+2m²+1=0的两个实根均大于1． 求使“p且q”为假命题，“p或q”为真命题的实数m的取值范围．

17. 难度：中等

用反证法证明：若x，y都是正实数，且x+y＞2求证：或中至少有一个成立．

18. 难度：中等

（理科做）设，用数学归纳法证明：当n≥2，n∈N^*时，n+f（1）+f（2）+…+f（n-1）=nf（n）．

19. 难度：中等

已知圆C：x²+y²+Dx+Ey+3=0，圆C关于直线x+y-1=0对称，圆心在第二象限，半径为
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程．

20. 难度：中等

（理科做）如图所示已知在矩形ABCD中，AB=1，BC=a（a＞0），PA⊥平面ABCD且PA=1．建立适当的空间坐标系，利用空间向量求解下列问题：
（1）求点P、B、D的坐标；
（2）当实数a在什么范围内取值时，BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD；
（3）当BC边上有且仅有一个Q点，使得时PQ⊥QD，求二面角Q-PD-A的余弦值．

21. 难度：中等

如图，A村在B地正北km处，C村在B地正东4km处，已知弧形公路PQ上任一点到B，C距离之和为8km，现要在公路旁建造一个供电所M分别向A村、C村送电，但C村有一村办工厂用电需用专用线路，不得与民用混线用电，因此向C村要架两条线路分别给村民和工厂送电．
（1）试指出公路PQ所在曲线的类型，并说明理由；
（2）要使得所用电线最短，供电所M应建在A村的什么方位，并求出M到A村的距离．

22. 难度：中等

已知函数．
（1）求出函数y=f（x）的单调区间；
（2）当时，证明函数y=f（x）图象在点处切线的下方；
（3）利用（2）的结论证明下列不等式：“已知，且a+b+c=1，证明：”；
（4）已知a₁，a₂，…，a_n是正数，且a₁+a₂+…+a_n=1，借助（3）的证明猜想的最大值．（只指出正确结论，不要求证明）