Question

已知函数．
（1）求出函数y=f（x）的单调区间；
（2）当时，证明函数y=f（x）图象在点处切线的下方；
（3）利用（2）的结论证明下列不等式：“已知，且a+b+c=1，证明：”；
（4）已知a₁，a₂，…，a_n是正数，且a₁+a₂+…+a_n=1，借助（3）的证明猜想的最大值．（只指出正确结论，不要求证明）

Answer

（1）求函数的单调区间，常用导数法，可以先对函数求导，利用导数大于0解出函数增区间，用导数小于0解出函数的减区间；
（2）先求出点处切线的方程，再通过比较-＜x＜+∞时两函数函数值的大小证明；
（3）由（2）≤，得≤，≤，≤，将三式相加即可证得不等式．
（4）由（3）的证明结论总结规律，写出符合规律的猜想： 的最大值是．
【解析】
（1）f（x）=的定义域是（-∞，+∞），因为f'（x）=，所以f（x）在（-∞，-1]上单调递减，在[-1，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减．…（4分）
（2）y=f（x）的图象在点（x，f（x））处的切线方程为y-=
当x=时，函数在点（，）处的切线方程是y-=（x-），即y= …（7分）
要证当-＜x＜+∞时，证明函数图象在点（，）处切线的下方，只需证明≤，成立． 这等价于证明（3x-1）2（4 x+3）≥0，这是显然的．…（10分）
（3）由（2）≤，知≤，≤，≤．
将三个不等式相加得++≤．…（13分）
（4）由（3）：“已知，且a+b+c=1，必有”；不等式左边是三个式子的和，分母都是分子的平方加1，不等式右边是个分数，分子是3的平方，而分母是3的平方加1，3正好对应a，b，c数个个数3，
又a1，a2，…，an是正数，且a1+a2+…+an=1，故可猜想 的最大值是．…（16分）