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(理科做)如图所示已知在矩形ABCD中,AB=1,BC=a(a>0),PA⊥平面...

(理科做)如图所示已知在矩形ABCD中,AB=1,BC=a(a>0),PA⊥平面ABCD且PA=1.建立适当的空间坐标系,利用空间向量求解下列问题:
(1)求点P、B、D的坐标;
(2)当实数a在什么范围内取值时,BC边上存在点Q,使得PQ⊥QD;
(3)当BC边上有且仅有一个Q点,使得时PQ⊥QD,求二面角Q-PD-A的余弦值.

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(1)先建立空间直角坐标系,因为题目中有矩形ABCD,以及和这个矩形面垂直的直线,所以x,y,z轴很容易找到,再在所建坐标系中求出点P、B、D的坐标即可. (2)要想使得PQ⊥QD,则只需,可先求向量的坐标,再计算,看结果是否为0即可. (3)要求二面角Q-PD-A的余弦值,只需求两个平面的法向量的夹角的余弦值即可,可先分别求两个平面的法向量,再利用向量夹角公式求余弦值. 【解析】 (1)∵PA⊥平面ABCD且ABCD为矩形,∴分别以AB,AD,AP为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz ∵AP=AB=1,BC=2∴P(0,0,1),B(1,0,0),D(0,a,0) (2)设Q(1,y,0),则∵PQ⊥QD∴∴1+y(y-a)+0=0即y2-ay+1=0    (*) ∵Q在边BC上, ∴a>0且△=a2-4≥0 ∴a≥2,即a的取值范围是[2,+∞) (3)当BC边上有且仅有一个Q点,方程(*)有等根, ∴y=1,此时a=2 显然平面PAD的一个法向量为=(1,0,0) 设平面PQD的一个法向量为=(x,y,z),则且 由(2)知,∴, 不妨取x=1,则y=1,z=2, ∴=(1,1,2) 由图可知,二面角Q-PD-A为锐角,设为α ,即二面角Q-PD-A即的余弦值为
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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