2008-2009学年山东省济宁市兖州市高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是（ ）
A．有一个解
B．有两个解
C．至少有三个解
D．至少有两个解

2. 难度：中等

复数Z=（a²-2a）+（a²-a-2）i对应的点在第三象限，则a的取值范围是（ ）
A．-1＜a＜2
B．0＜a＜2
C．0≤a≤2
D．-1＜a＜0

3. 难度：中等

设曲线y=x²在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为（ ）
A．（3，9）
B．（-3，9）
C．（）
D．（）

4. 难度：中等

曲线y=x²与直线x+y=2围成的图形的面积为（ ）
A．
B．4
C．
D．5

5. 难度：中等

若点M，A，B，C对空间任意一点O都满足=+++，则这四个点（ ）
A．不共线
B．不共面
C．共线
D．共面

6. 难度：中等

已知向量=（1，1，0），=（-1，0，2），且与互相垂直，则k的值是（ ）
A．1
B．
C．
D．

7. 难度：中等

函数f（x）=ax³+x+1有极值的充要条件是（ ）
A．a＞0
B．a≥0
C．a＜0
D．a≤0

8. 难度：中等

如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（ ）
A．
B．
C．-
D．2

9. 难度：中等

已知f（x）=x²+2x•f′（1），则 f′（0）等于（ ）
A．-2
B．2
C．1
D．-4

10. 难度：中等

在正方体ABCD-A′B′C′D′中，直线BC′与平面A′BD所成的角的余弦值等于（ ）

A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

定义在（0，+∞）上的可导函数f（x）满足f′（x）•x＜f（x）且f（2）=0则＜0的解集为（ ）
A．（0，2）
B．（0，2）∪（2，+∞）
C．（2，+∞）
D．∅

12. 难度：中等

我们知道∫_-1¹dx的几何意义是以（0，0）为圆心，1为半径的单位圆在x轴上方部分（半圆）的面积，则将该半圆绕x轴旋转一周，所得几何体的体积可以表示为（ ）
A．∫¹（1-x²）d
B．∫_-1¹π（1-x²）d
C．∫_-1¹πd
D．∫_-1¹（1-x²）d

二、填空题

13. 难度：中等

用数学归纳法证明1+a+a²+…+aⁿ⁺¹=（a≠1），在验证n=1时，左端计算所得的项为    ．

14. 难度：中等

已直向量=（2，-3.5）与向量=（3，λ，）平行，则λ=    ．

15. 难度：中等

在正三棱锥P-ABC中，三条侧棱两两垂直，且侧棱长为a，则点P到平面ABC的距离为    ．

16. 难度：中等

将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

是否存在常数a，b使等式1-n+2-（n-1）+3-（n-2）+…+n-1=an（n+b）（n+2）对于任意的n∈N₊总成立？若存在，求出来并证明；若不存在，说明理由．

18. 难度：中等

某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x（0＜x＜1），那么月平均销售量减少的百分率为x²．记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y（元）．
（Ⅰ）写出y与x的函数关系式；
（Ⅱ）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．

19. 难度：中等

已知△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，且AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°，求
（1）直线AD与平面BCD所成角的大小；
（2）直线AD与直线BC所成角的大小；
（3）二面角A-BD-C的余弦值．

20. 难度：中等

设函数f（x）=x²e^x-1+ax³+bx²，已知x=-2和x=1为f（x）的极值点．
（Ⅰ）求a和b的值；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅲ）设，试比较f（x）与g（x）的大小．