《第3章 空间向量与立体几何》2009年单元测试卷（东升学校）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若，，是空间任意三个向量，λ∈R，下列关系式中，不成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

给出下列命题：
①已知，则；
②A、B、M、N为空间四点，若不构成空间的一个基底，则A、B、M、N共面；
③已知，则与任何向量不构成空间的一个基底；
④已知是空间的一个基底，则基向量可以与向量构成空间另一个基底．
正确命题个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

3. 难度：中等

已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么=（ ）
A．
B．
C．
D．4

4. 难度：中等

若，且，则向量与的夹角为（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°

5. 难度：中等

已知，，且=2，则x的值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

6. 难度：中等

若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，能使l∥α的是（ ）
A．=（1，0，0），=（-2，0，0）
B．=（1，3，5），=（1，0，1）
C．=（0，2，1），=（-1，0，-1）
D．=（1，-1，3），=（0，3，1）

7. 难度：中等

直角坐标系中，设A（2，3），B（-3，-2），沿y轴把直角坐标系折成120°二面角后，则AB的长度是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E是A₁B₁的中点，则E到平面ABC₁D₁的距离为 （ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

已知，，，其中，，为单位正交基底，若F₁，F₂，F₃共同作用在一个物体上，使物体从点M₁（1，-2，1）移到点M₂（3，1，2），则合力所作的功为    ．

10. 难度：中等

在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知∠BAD=∠A₁AB=∠A₁AD=60°，AD=4，AB=3，AA₁=5，=    ．

11. 难度：中等

△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，且AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=60°，则AD与平面BCD所成角的余弦值为    ．

12. 难度：中等

若直线l的方向向量为（4，2，m），平面α的法向量为（2，1，-1），且l⊥α，则m=    ．

13. 难度：中等

已知A（-3，1，5），B（4，3，1），则线段AB的中点M的坐标为    ．

三、解答题

14. 难度：中等

设空间两个不同的单位向量与向量的夹角都等于45°．
（1）求x₁+y₁和x₁•y₁的值；
（2）求的大小．

15. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，E为PC上的点且CE：CP=1：4，则在线段AB上是否存在点F使EF∥平面PAD．

16. 难度：中等

如图，四棱锥S-ABCD的底面是矩形，AB=a，AD=2，SA=1，且SA⊥底面ABCD，若边BC上存在异于B，C的一点P，使得．
（1）求a的最大值；
（2）当a取最大值时，求异面直线AP与SD所成角的大小；
（3）当a取最大值时，求平面SCD的一个单位法向量及点P到平面SCD的距离．

17. 难度：中等

已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，AF=1，M是线段EF的中点．
（1）求证：AM∥平面BDE；
（2）求证：AM⊥平面BDF．

18. 难度：中等

如图所示，矩形ABCD的边AB=a，BC=2，PA⊥平面ABCD，PA=2，现有数据：①；②a=1；③；④a=2；⑤a=4．
（1）当在BC边上存在点Q，使PQ⊥QD时，a可能取所给数据中的哪些值，请说明理由；
（2）在满足（1）的条件下，a取所给数据中的最大值时，求直线PQ与平面ADP所成角的正切值；
（3）记满足（1）的条件下的Q点为Q_n（n=1，2，3，…），若a取所给数据的最小值时，这样的点Q_n有几个，试求二面角Q_n-PA-Q_n+1的大小．

19. 难度：中等

如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=，点E在PD上，且PE：ED=2：1．
（I）证明PA⊥平面ABCD；
（II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的大小；
（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．