2010-2011学年重庆市万盛区田家炳中学高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

C₆¹+C₆²+C₆³+C₆⁴+C₆⁵的值为（ ）
A．61
B．62
C．63
D．64

2. 难度：中等

一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（ ）
A．垂直
B．平行
C．相交不垂直
D．不确定

3. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，异面直线BD₁与A₁D所成的角等于（ ）

A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

4. 难度：中等

在的展开式中，x⁴的系数为（ ）
A．-120
B．120
C．-15
D．15

5. 难度：中等

两个球的体积之比为8：27，则它们的表面积的比是（ ）
A．2：3
B．4：9
C．
D．

6. 难度：中等

重庆市万盛田家炳中学决定从高二（7）班54人中和高二（17）班58人中选择3人组建“给力2011，创造49中2012高考辉煌”小组参加湖南卫视“给力星期天”娱乐节目，要求每班至少选一人，则不同的选法共有（ ）
A．C₅₄¹C₅₈²
B．C₅₄¹C₅₈²+C₅₄²C₅₈¹
C．C₁₀₈³
D．C₁₀₈³-C₅₄¹-C₅₈¹

7. 难度：中等

展开式中的常数项是（ ）
A．-36
B．36
C．-84
D．84

8. 难度：中等

从甲、乙、丙、丁4名同学中选出3名同学，分别参加3个不同科目的竞赛，其中甲同学必须参赛，不同的参赛方案共有（ ）
A．24种
B．18种
C．21种
D．9种

9. 难度：中等

设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α
B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m⊂α，则l∥m
D．若l∥α，m∥α，则l∥m

10. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，动点E、F在棱A₁B₁上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，A₁E=x，DQ=y，DP=z（x，y，z大于零），则四面体PEFQ的体积（ ）

A．与x，y，z都有关
B．与x有关，与y，z无关
C．与y有关，与x，z无关
D．与z有关，与x，y无关

二、填空题

11. 难度：中等

在（x+1）ⁿ的展开式中各项系数和为64，则该二项式展开式中含x³项的系数为    ．

12. 难度：中等

若一个球的半径为1，A、B为球面上两点，且|AB|=1，则A、B两点的球面距离为    ．

13. 难度：中等

设（x²+1）（2x+1）⁹=a+a₁（x+2）+a₂（x+2）²+…a_n（x+2）ⁿ则a+a₁+a₂+…a_n=    ．

14. 难度：中等

某地为上海“世博会”招募了20名志愿者，他们的编号分别是1号、2号、…19号、20号．若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的在另一组．那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是    ．

15. 难度：中等

如图，正△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A'ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，现给出下列四个命题：
①动点A'在平面ABC上的射影在线段AF上；
②恒有平面A'GF⊥平面BCED；
③三棱锥A'-FED的体积有最大值；
④面直线A'E与BD不可能垂直．
其中正确的命题的序号是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

如图，已知空间四边形ABCD中，BC=AC，AD=BD，E是AB的中点．
求证：（1）AB⊥平面CDE；
（2）平面CDE⊥平面ABC．

17. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是AA₁的中点．
（1）求CA_l与底面ABCD所成角的正切值；
（2）证明A₁C∥平面BDE．

18. 难度：中等

所有的二项式系数之和与各项系数之和的比为2¹⁸，求该二项式展开式中的
（1）第6项；   （2）第3项的系数；  （3）常数项．

19. 难度：中等

有甲、乙2名老师和4名学生站成一排照相．
（1）甲、乙两名老师必须站在两端，共有多少种不同的排法？
（2）甲、乙两名老师必须相邻，共有多少种不同的排法？
（3）甲、乙两名老师不能相邻，共有多少种不同的排法？
（4）甲、乙两名老师之间必须站两名同学，共有多少种不同的排法？
（5）甲老师不能站在首位，乙老师不能站末位，共有多少种不同的排法？
（6）同学丙不能和甲、乙两名老师相邻，共有多少种不同的排法？（必须写出解析式再算出结果才能给分）

20. 难度：中等

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=5，AC=4，BC=3，AA₁=4，点D在AB上．
（Ⅰ）求证：AC⊥B₁C；
（Ⅱ）若D是AB中点，求证：AC₁∥平面B₁CD；
（Ⅲ）当时，求二面角B-CD-B₁的余弦值．

21. 难度：中等

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形，∠BCD=60°，PD⊥AD．点E是BC边上的中点．
（1）求证：AD⊥面PDE；
（2）若二面角P-AD-C的大小等于60°，且AB=4，PD=；①求V_P-ABED； ②求二面角P-AB-C大小．