2007-2008学年江苏省无锡一中高二（上）期中数学试卷（成志班）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若曲线y=x⁴+mx在x=-1处的切线方程为2x+y+3=0，则m等于（ ）
A．-1
B．1
C．-2
D．2

2. 难度：中等

已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则（ ）
A．¬p：∃x∈R，sinx≥1
B．¬p：∀x∈R，sinx≥1
C．¬p：∃x∈R，sinx＞1
D．¬p：∀x∈R，sinx＞1

3. 难度：中等

复数等于（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

一个圆的极坐标方程是，则圆心的极坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

如图中阴影部分的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

命题p：不等式|＞的解集为{x|0＜x＜1}；命题q：在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的必要非充分条件，则（ ）
A．p真q假
B．“p且q”为真
C．“p或q”为假
D．p假q真

7. 难度：中等

函数的最小值为（ ）
A．190
B．171
C．90
D．45

8. 难度：中等

一个国家的一群人不是骑士就是无赖．骑士不说谎，无赖永远说谎．我们遇到该人群中的甲、乙、丙三人．甲说：“如果丙是骑士，那么乙是无赖”．丙说：“甲和我不同，一个是骑士，一个是无赖”．这三人中谁是骑士，谁是无赖？答：（ ）
A．甲是骑士，乙、丙是无赖
B．甲是无赖，乙、丙是骑士
C．丙是无赖，甲、乙是骑士
D．丙是骑士，甲、乙是无赖

二、填空题

9. 难度：中等

已知函数f（x）的导数是f′（x），f（x）=x³-2f′（1）x+1，则f′（1）=    ．

10. 难度：中等

某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系，其中0≤t≤24，S的单位是m，t的单位是h，则18点时潮水起落的速度是    ．

11. 难度：中等

若数列{a_n}是等差数列，且，则数列{b_n}是等差数列．类比上述性质，相应地，若数列{c_n}是等比数列，且c_n＞0，d_n=    ，则有数列{d_n}也是等比数列．

12. 难度：中等

若椭圆的极坐标方程是，则该椭圆的右准线的极坐标方程是    ．

13. 难度：中等

已知复数z₁=i（1-i）³，复数z满足|z|=1，则|z-z₁|的最大值是    ．

14. 难度：中等

若点P（x，y）是曲线C：（θ为参数，0≤θ＜π）上的任意一点，则的取值范围是    ．

15. 难度：中等

由曲线和直线y=x-4，x=1，x=2围成的曲边梯形的面积是    ．

16. 难度：中等

将自然数1，2，3，4，┅排成数阵（如右图所示），在2处转第一个弯，在3处转第二个弯，在5处转第三个弯，┅，则转第100个弯处的数是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数，动直线l的斜率k=2．
（1）若存在直线l与f（x）的图象相切，求a的取值范围；
（2）若恰好有一条直线l与f（x）的图象相切，求直线l的方程；
（3）若动直线l与f（x）的图象相切点A（x₁，y₁），且x₁∈[-2，2]，求a的取值范围．

18. 难度：中等

设z是虚数，满足是实数，且-1＜ω＜2．
（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；
（2）设．求证：u是纯虚数；
（3）求ω-u²的最小值．

19. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的第二项为8，前10项之和为185，从{a_n}中依次取出第2项，第4项，第8项，┅，第2ⁿ项，┅，按原来的顺序排成一个新的数列{b_n}．
（1）求数列{b_n}的前n项的和S_n；
（2）设T_n=n（9+a_n），试比较S_n和T_n的大小，并证明你的结论．

20. 难度：中等

已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线方程是．过点P（-4，0）作斜率为的直线l，使得l和G交于A，B两点，和y轴交于点C，点P在线段AB上，并且满足|PA|•|PB|=|PC|²，求双曲线G的方程．

21. 难度：中等

已知函数（a，b，c，d∈R）．
（1）若函数f（x）在x=1，x=2处取得极值，求b，c的值；
（2）若函数f（x）在区间（-∞，x₁），（x₂，+∞）上为增函数，在（x₁，x₂）上为减函数，且x₂-x₁＞1，求证：b²＞2（b+2c）；
（3）在（2）的条件下，当t＜x₁时，试比较t²+bt+c与x₁的大小．