Question

已知函数，动直线l的斜率k=2．
（1）若存在直线l与f（x）的图象相切，求a的取值范围；
（2）若恰好有一条直线l与f（x）的图象相切，求直线l的方程；
（3）若动直线l与f（x）的图象相切点A（x₁，y₁），且x₁∈[-2，2]，求a的取值范围．

Answer

（1）求得f'（x）=x2+2x+3a．根据已知条件可得f′（x）=2，利用二次函数的性质可以得出a的取值范围；
（2）若恰好有一条直线l与f（x）的图象相切，设切点M（x，y），则x2+2x+3a=2有惟一解，结合根的判别式求出x及切点，最后写出直线l的方程；
（3）若动直线l与f（x）的图象相切点A（x1，y1），则x12+2x1+3a=2且x1∈[-2，2]，3a=2-x12-2x1∈[-6，3]，求出函数2-x12-2x1在区间[-2，2]上的值域，实数3a也应在这个值域中，因此可以得到实数a的取值范围．
【解析】
由题意得f'（x）=x2+2x+3a．
（1）若存在直线l与f（x）的图象相切，设l的斜率为k，
则x2+2x+3a=2，3a=2-x2-2x≤3⇒a≤1，
∴a的取值范围（-∞，1]；
（2）若恰好有一条直线l与f（x）的图象相切，
设切点M（x，y），则x2+2x+3a=2有惟一解，⇒△=0⇒a=1，
且x=-1，切点M（-1，-），
∴直线l的方程为：y+=2（x+1），即：2x+y+=0；
（3）若动直线l与f（x）的图象相切点A（x1，y1），
则x12+2x1+3a=2且x1∈[-2，2]，
3a=2-x12-2x1∈[-6，3]，⇒a∈[-2，1]
故a的取值范围[-2，1]．