2008-2009学年浙江省宁波市余姚中学高一（上）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合M={1，t²}，N={-2，t+2}，且M∩N≠φ，则实数t的值等于（ ）
A．-1
B．2
C．1
D．不确定

2. 难度：中等

函数的定义域是：（ ）
A．[1，+∞）
B．
C．
D．

3. 难度：中等

比较、2^3.1、的大小关系是（ ）
A．2^3.1＜＜
B．＜2^3.1＜
C．＜＜2^3.1
D．＜＜2^3.1

4. 难度：中等

已知函数是奇函数，则=（ ）
A．
B．
C．2
D．-2

5. 难度：中等

如果方程lg²x+（lg2+lg3）lgx+lg2•lg3=0的两根为x₁，x₂，那么x₁•x₂的值为（ ）
A．lg2•lg3
B．lg2+lg3
C．
D．-6

6. 难度：中等

根据表格中的数据，可以判定方程e^x-x-2=0的一个根所在的区间为（ ）

x	-1		1	2	3
e^x	0.37	1	2.72	7.39	20.09
x+2	1	2	3	4	5

A．（-1，0）
B．（0，1）
C．（1，2）
D．（2，3）

7. 难度：中等

函数f（x）=|x³+1|+|x³-1|，则下列坐标表示的点一定在函数f（x）图象上的是（ ）
A．（-a，-f（a））
B．（-a，-f（-a））
C．（a，-f（a））
D．（a，f（-a））

8. 难度：中等

在函数y=|x|（x∈[-1，1]）的图象上有一点P（t，|t|），此函数与x轴、直线x=-1及x=t围成图形（如图阴影部分）的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知函数y=f（x）满足：①y=f（x+1）是偶函数；②在[1，+∞）上为增函数．若x₁＜0，x₂＞0，且x₁+x₂＜-2，则f（-x₁）与f（-x₂）的大小关系是（ ）
A．f（-x₁）＞f（-x₂）
B．f（-x₁）＜f（-x₂）
C．f（-x₁）=f（-x₂）
D．f（-x₁）与f（-x₂）的大小关系不能确定

10. 难度：中等

]已知函数f（x）与函数g（x）的图象如图所示，下列命题中，正确的个数是
①方程f[f（x）]=0有4个实数根；
②方程f[g（x）]=0有4个实数根；
③方程g[f（x）]=1有2个实数根；
④若g[f（x_i）]=0，g[f（x_j）]=-1，则2≤x_i+x_j＜5．（i=1，2；j=1，2）（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

二、填空题

11. 难度：中等

=    ．

12. 难度：中等

函数的单调递减区间是    ．

13. 难度：中等

已知奇函数f（x）在（-∞，0）为减函数，且f（1）=0，则不等式x³f（x）＞0的解集为    ．

14. 难度：中等

定义运算，例如，1*2=1，则函数f（x）=1*2^x的值域是    ．

15. 难度：中等

若x∈（-∞，-1]，不等式（m-m²）4^x+2^x+1＞0恒成立，则实数m的取值范围 是    ．

16. 难度：中等

设函数y=f（x）的定义域为R，f（1）=2，且对任意x₁，x₂∈R，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），当x＞0时，f（x）是增函数，则函数y=-f²（x）在区间[-3，-2]上的最大值是    ．

17. 难度：中等

设函数，给出下列四个命题：
①函数f（|x|）为偶函数；
②若|f（a）|=|f（b）|其中a＞0，b＞0，a≠b，则ab=1；
③函数f（-x²+2x）在（1，+∞）上为单调增函数；
④若0＜a＜1，则|f（1+a）|＜|f（1-a）|；
则正确命题的序号是    ．

三、解答题

18. 难度：中等

已知函数，
（1）判断f（x）的奇偶性，并证明；
（2）方程是否有根？如果有根x，请求出一个长度为的区间（a，b），使x∈（a，b），如果没有，说明为什么？（注：区间（a，b）的长度=b-a）

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x|x-2|．
（1）作出函数f（x）的图象并写出f（x）的单调区间； 
（2）求f（x）在[0，a]上的最大值．

20. 难度：中等

有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为vm³，现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合．用g（t）表示某一时刻t每立方米湖水所含污染物质（g），我们称其为在时刻t时的湖水污染质量分数．已知目前污染源以每天pg的污染物质污染湖水，湖水污染质量满足关系式g（t）=（p≥0），其中g（0）是湖水污染的初始质量分数．
（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数；
（2）求证：当g（0）＜时，湖泊的污染程度将越来越严重；
（3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，问经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%

21. 难度：中等

已知函数f（x）=3ax²+2bx+c．若a+b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0，
（1）证明：；
（2）证明：函数f（x）在（0，1）内有两个零点．

22. 难度：中等

已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在x，使得f（x+1）=f（x）+f（1）成立．
（1）函数是否属于集合M？说明理由；
（2）设函数，求a的取值范围；
（3）设函数y=2^x图象与函数y=-x的图象有交点，证明：函数f（x）=2^x+x²∈M．