Question

有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为vm³，现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合．用g（t）表示某一时刻t每立方米湖水所含污染物质（g），我们称其为在时刻t时的湖水污染质量分数．已知目前污染源以每天pg的污染物质污染湖水，湖水污染质量满足关系式g（t）=（p≥0），其中g（0）是湖水污染的初始质量分数．
（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数；
（2）求证：当g（0）＜时，湖泊的污染程度将越来越严重；
（3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，问经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%

Answer

（1）设0≤t1＜t2，根据g（t） 为常数故可判断出g（t1）=g（t2），把解析式代入即可求得g（0）的值．
（2）设0＜t1＜t2，进而求得g（t1）-g（t2）=，根据g（0）-＜0，0＜t1＜t2，判断出g（t1）＜g（t2）．证明出污染的问题越来越严重．
（3），设经过t天能使湖水污染下降到初始污染水平5%，进而根据g（t）=5% g（0）求得t的值．
【解析】
（1）设0≤t1＜t2，
因为g（t） 为常数，∴g（t1）=g（t2），即=，整理得
则g（0）=；
（2）设0＜t1＜t2，g（t1）-g（t2）=-=
因为g（0）-＜0，0＜t1＜t2，g（t1）＜g（t2）．
∴污染越来越严重．
（3）污染停止即P=0，g（t）=g（0）•，设经过t天能使湖水污染下降到初始污染水平5%即g（t）=5% g（0）=，∴t=ln20，
故需要ln20天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%．