2009-2010学年北京市昌平区高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

命题“∀x＞0，都有x²-x≤0”的否定是（ ）
A．∃x＞0，使得x²-x≤0
B．∃x＞0，使得x²-x＞0
C．∀x＞0，都有x²-x＞0
D．∀x≤0，都有x²-x＞0

2. 难度：中等

双曲线mx²+y²=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（ ）
A．
B．-4
C．4
D．

3. 难度：中等

”m＞n＞0”是”方程mx²+ny²=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

如图是根据《山东统计年鉴2007》中的资料作成的1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图．图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字．从图中可以得到1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为（ ）

A．304.6
B．303.6
C．302.6
D．301.6

5. 难度：中等

某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7

6. 难度：中等

已知三棱锥O-ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且，用a，b，c表示，则等于（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

在下列各图中，每个图的两个变量具有线性相关关系的图是（ ）
A．（1）（2）
B．（1）（3）
C．（2）（4）
D．（2）（3）

8. 难度：中等

某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点P_k（x_k，y_k）处，其中x₁=1，y₁=1，当k≥2时，．T（a）表示非负实数a的整数部分，例如T（3.6）=3，T（0.2）=0．按此方案，第6棵树种植点的坐标为__________．（ ）
A．（2，5）
B．（6，3
C．（1，2）
D．（3，5）

二、填空题

9. 难度：中等

已知正方形ABCD及其内切圆O，若向正方形内投点，则点落在圆内的概率为    ．

10. 难度：中等

已知，，则=    ．

11. 难度：中等

已知抛物线y²=4x的焦点F的坐标是    ，若点P是该抛物线任意一点，点A （6，3 ），则|PA|+|PF|的最小值是    ．

12. 难度：中等

某校高一、高二、高三共有学生1200人，其中高二有学生360人．现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为50人的样本进行学习兴趣相关情况的调查，则应在高二年级抽取    人．

13. 难度：中等

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD₁、AB、CC₁的中点，则异面直线A₁E与GF所成的角是    ．

14. 难度：中等

通过抽样，得到了某市100位居民某年的月均用水量（单位：t），根据情况将数据分成了以下9组：[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]，并绘制了如右图所示的频率分布直方图．那么，直方图中x的值为    ；
根据直方图可以做出推测，在这个城市的所有居民中，月均用水量小于2t的居民所占的比例为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知命题p：x²-5x-6≤0；命题q：-x²+2x+8≤0．若“p∨q”为真命题且“p∧q”为假命题，求实数x的取值范围．

16. 难度：中等

为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5，6，7，8，9，10．把这6名学生的得分看成一个总体．
（1）求该总体的平均数；
（2）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本．求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．

17. 难度：中等

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，，E是DD₁的中点．
（1）求证：AC⊥B₁D；
（2）求二面角E-AC-B的大小．

18. 难度：中等

已知椭圆C过点P（1，），两个焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F₁的直线交椭圆于A、B两点，求线段AB的中点的轨迹方程．

19. 难度：中等

有4张卡片，上面分别标有数字1，2，3，4．从中任意抽出一张卡片，放回后再抽出一张卡片，求：
（1）两次抽取的卡片上数字之和等于4的概率；
（2）两次抽取的卡片上数字不相同的概率．

20. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为，
（I）求a，b的值；
（II）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．