Question

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，，E是DD₁的中点．
（1）求证：AC⊥B₁D；
（2）求二面角E-AC-B的大小．

Answer

（1）法一：几何法．要证明线线垂直可利用线线垂直的判定定理．
    法二：空间向量．建立空间直角坐标系求出点A，C，D，B1然后求出利用向量⇒AC⊥B1D．
（2）法一：几何法．要求二面角的大小须先利用三垂线定理做出二面角的平面角然后在所做的三角形中求角的大小．
    法二：空间向量．建立空间直角坐标系然后利用求出θ的大小（其中分别为两个平面的法向量而θ与二面角的平面角相等或互补）．
（本小题满分14分）
解法一：
（1）证明：连接BD．
∵ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，∴B1B⊥平面ABCD，
∴BD是B1D在平面ABCD上的射影，…．（2分）
∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，…．（4分）
根据三垂线定理∴AC⊥B1D．…..（6分）
（2）【解析】
设AC∩BD=F，连接EF．∵DE⊥平面ABCD，且AC⊥BD，…（7分）
根据三垂线定理得 AC⊥FE，又AC⊥FB，∴∠EFB是二面角E-AC-B的平面角．…..（9分）
在Rt△EDF中，由，得∠EFD=45°．…..（12分）
∴∠EFB=180°-45°=135°，…（13分）
即二面角E-AC-B的大小是135°．…..（14分）

解法二：∵ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，∴DA、DC、DD1两两互相垂直
如图，以D为原点，直线DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．…．（1分）…..（3分）
（1）证明：
∵…．（4分）
∴，∴AC⊥B1D．…..（6分）

（2）【解析】

连接BD，设AC∩BD=F，连接EF．
∵DE⊥平面ABCD，且AC⊥BD∴AC⊥FE，AC⊥FB…（8分）
∴∠EFB是二面角E-AC-B的平面角．…..（9分）
∵底面ABCD是正方形
∴，∴，．…．（11分）
…..（13分）
∴=-…（13分）

∴二面角E-AC-B的大小是135°．…..（14分）