Question

已知椭圆C过点P（1，），两个焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F₁的直线交椭圆于A、B两点，求线段AB的中点的轨迹方程．

Answer

（1）设出椭圆的方程，将P的坐标代入椭圆的方程得到关于a，b的等式，再根据椭圆的三个参数的关系列出关于a，b，c的另一个等式，解方程组求出a，b的值即得到椭圆的方程．
（2）设出直线AB的方程，将直线的方程与椭圆方程联立，消去x得到关于y的二次方程，利用韦达定理表示出中点的坐标，消去参数m得到中点的轨迹方程．
【解析】
（1）由题意可知，c=1，a2=b2+1
设椭圆的方程为（a＞b＞0）…即
因为点P在椭圆上，所以，解得b2=3，
所以椭圆方程为  
（2）【解析】
设过点F1的直线方程为：x=my-1
代入，得：
整理得（3m2+4）y2-6my-9=0
同理可得：
设线段AB的中点为M（x，y），则
整理得：3x2+4y2+3x=0
当y=0时，易知线段AB的中点为原点，满足上述方程．
综上所述，所求的方程为：3x2+4y2+3x=0