2010年浙江省杭州市高二教学质量检测数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知=（ ）
A．1+2i
B．1-2i
C．2+i
D．2-i

2. 难度：中等

抛物线y²=10x的焦点到准线的距离是（ ）
A．
B．5
C．
D．10

3. 难度：中等

某班有学生52人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知座位号分别为6，32，45的同学都在样本中，那么样本中另一位同学的座位号应该是（ ）
A．12
B．19
C．27
D．51

4. 难度：中等

从人群中随意抽取11人，如图是这11人夏季和冬季体重情况的茎叶统计图，则夏季体重的众数与冬季体重的中位数分别是（ ）

A．54，55
B．52，55
C．52，57
D．54，57

5. 难度：中等

平面上有n条直线，它们任何两条不平行，任何三条不共点，设k（k＜n）条这样的直线把平面分成f（k）个区域，则f（k+1）-f（k）等于（ ）
A．k-1
B．k
C．k+1
D．k+2

6. 难度：中等

如图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为S=1320，则在判断框中应填入关于i的判断条件是（ ）

A．i≥8
B．i≥9
C．i≥10
D．i≥11

7. 难度：中等

已知p：x²-2x-3＞0和，则¬p是¬q的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

8. 难度：中等

已知双曲线满足条件：（1）焦点为F₁（-5，0），F₂（5，0）；（2）离心率为，求得双曲线C的方程为f（x，y）=0．若去掉条件（2），另加一个条件求得双曲线C的方程仍为f（x，y）=0，则下列四个条件中，符合添加的条件可以是（ ）
①双曲线上的任意点P都满足||PF₁|-|PF₂||=6；
②双曲线的渐近线方程为4x±3y=0；
③双曲线的焦距为10；
④双曲线的焦点到渐近线的距离为4．
A．①③
B．②③
C．①④
D．①②④

9. 难度：中等

若函数f（x）=x²+e，（e=2.718…），则下列命题正确的是（ ）
A．∀a∈（-∞，e），∃x∈（0，+∞），f（x）＜a
B．∀a∈（e，+∞），∃x∈（0，+∞），f（x）＜a
C．∀x∈（0，+∞），∀a∈（e，+∞），f（x）＜a
D．∀x∈（-∞，0），∀a∈（e，+∞），f（x）＞a

10. 难度：中等

用4种不同的颜色为一个固定位置的正方体的六个面着色，要求相邻两个面颜色不相同，则不同的着色方法数是（ ）
A．24
B．48
C．72
D．96

二、填空题

11. 难度：中等

在空间直角坐标系O-xyz中，向量，，若，则x等于    ．

12. 难度：中等

在的展开式中，x⁶的系数是    ．

13. 难度：中等

以椭圆2x²+y²=1的顶点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线方程为    ．

14. 难度：中等

已知P是椭圆上的点，F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，若∠F₁PF₂=60°，则△F₁PF₂的面积为    ．

15. 难度：中等

从装有n+1个球（其中n个白球，1个黑球）的口袋中取出m个球（0＜m≤n，m，n∈N），共有C_n+1^m种取法，这C_n+1^m种取法可分成两类：一类是取出的m个球中，没有黑球，有C₁•C_n^m种取法，另一类是取出的m个球中有一个是黑球，有C₁¹•C_n^m-1种取法，由此可得等式：C₁•C_n^m+C₁¹•C_n^m-1=C_n+1^m．则根据上述思想方法，当1≤k＜m＜n，k，m，n∈N时，化简C_k•C_n^m+C_k¹•C_n^m-1+C_k²•C_n^m-2+…+C_k^k•C_n^m-k=    ．

16. 难度：中等

已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f（x）=a^xg（x），f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），，在有穷数列中任取前k项相加，则前k项和大于的概率为    ．

17. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，则下列四个命题：
①P在直线BC₁上运动时，三棱锥A-D₁PC的体积不变；
②P在直线BC₁上运动时，直线AP与平面ACD₁所成角的大小不变；
③P在直线BC₁上运动时，二面角P-AD₁-C的大小不变；
④M是平面A₁B₁C₁D₁上到点D和C₁距离相等的点，则M点的轨迹是过D₁点的直线，其中真命题的编号是    ．（写出所有真命题的编号）

三、解答题

18. 难度：中等

某工厂在试验阶段大量生产一种零件．这种零件有A、B两项技术指标需要检测，设两项技术指标达标与否互不影响．若有且仅有一项技术指标达标的概率为，至少一项技术指标达标的概率为．按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．
（1）求一个零件经过检测为合格品的概率是多少？
（2）任意依次抽出4个零件进行检测，设ξ表示其中合格品的个数．
①求其中至多2个零件是合格品的概率是多少？
②求ξ的均值Eξ和方差Dξ．

19. 难度：中等

如图，已知三棱锥A-BCD的侧视图，俯视图都是直角三角形，尺寸如图所示．
（1）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
（2）在线段AC上是否存在点F，使得BF⊥面ACD？若存在，求出CF的长度；若不存在说明理由．

20. 难度：中等

已知抛物线C的方程为x²=4y．设动点E（a，-2 ），其中a∈R，过点E分别作抛物线C的两条切线EA，EB，切点为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
（1）求证：A，E，B三点的横坐标依次成等差数列；
（2）求直线AB经过的定点坐标．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x⁴-4x³+ax²-1在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减；
（1）求a的值；
（2）是否存在实数b，使得函数g（x）=bx²-1的图象与函数f（x）的图象恰有2个交点，若存在，求出实数b的值；若不存在，试说明理由．